Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo:
Passo 1
Então, a gente tem o enunciado que pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem, incluindo as cruzadas, da função
. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, para resolver isso. Precisaremos lembrar como derivar funções em relação a uma variável mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, as derivadas de
em relação a
e a
.
A derivada parcial de
em relação a
é obtida tratando
como uma constante:
Aqui, a derivada de
em relação a
é
e a derivada de
em relação a
é zero, já que
é tratado como constante.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Aqui, a derivada de
em relação a
é
e a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, a segunda derivada em relação a
:
Aqui, derivamos
em relação a
, resultando em
.
Passo 5
Em seguida, a segunda derivada em relação a
:
Derivamos
em relação a
para obter
e
para obter
.
Passo 6
Por último, vamos encontrar as derivadas cruzadas, ou seja, derivar
em relação a
e
em relação a
.
Primeiro,
:
Depois,
:
Como esperado,
.
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem são:
As derivadas parciais de segunda ordem são:
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Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo:
Calcule
e
, sendo:
Calcule
e
, sendo:
.