Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo: f(x, y) = 4 x^3 y^4 + y^3

Passo 1

Então, a gente tem o enunciado que pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem, incluindo as cruzadas, da função . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, para resolver isso. Precisaremos lembrar como derivar funções em relação a uma variável mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, as derivadas de em relação a e a .
A derivada parcial de em relação a é obtida tratando como uma constante:
Aqui, a derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é zero, já que é tratado como constante.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a :
Aqui, a derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, a segunda derivada em relação a :
Aqui, derivamos em relação a , resultando em .

Passo 5

Em seguida, a segunda derivada em relação a :
Derivamos em relação a para obter e para obter .

Passo 6

Por último, vamos encontrar as derivadas cruzadas, ou seja, derivar em relação a e em relação a .
Primeiro, :
Depois, :
Como esperado, .

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:
As derivadas parciais de segunda ordem são:

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Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo: f(r, theta) = r * tg(theta) - r^2 * sen(theta)
Calcule partialpartial r[w(x(r, s), y(r, s))] e partialpartial s[w(x(r, s), y(r, s))], sendo: w=x^2 sin y^3, x=r^3-2 s^3, y=r s^2
Calcule partialpartial r[w(x(r, s), y(r, s))] e partialpartial s[w(x(r, s), y(r, s))], sendo: w=e^x / y, x=r^2-s^2, y=r^3+s^3.
integral 46 x^34 x^2-4 x+1 d x