Calcule partialpartial r[w(x(r, s), y(r, s))] e partialpartial s[w(x(r, s), y(r, s))], sendo: w=raizx^2+y^2, x=r e^-s, y=s^2 e^-r

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos as derivadas parciais de em relação a e . Estamos lidando com a matéria de cálculo, mais especificamente com derivadas parciais e a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Vamos começar calculando w = raizx^2 + y^2, x = r e^-s, y = s^2 e^-r .
Primeiro, identifique as funções envolvidas:
partial wpartial r = partial wpartial x cdot partial xpartial r + partial wpartial y cdot partial ypartial r
Para encontrar partial wpartial x = xraizx^2 + y^2, partial wpartial y = yraizx^2 + y^2 , usamos a regra da cadeia:
partial xpartial r = e^-s, partial ypartial r = -s^2 e^-r
Agora, calculamos cada derivada individualmente.
Primeiro, partial wpartial r = ( xraizx^2 + y^2 ) cdot e^-s + ( yraizx^2 + y^2 ) cdot (-s^2 e^-r) e :
Depois, e :
Agora, substituímos esses valores na expressão da regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos calcular partial wpartial s = partial wpartial x cdot partial xpartial s + partial wpartial y cdot partial ypartial s .
Usamos a mesma abordagem da regra da cadeia:
partial wpartial x = xraizx^2 + y^2, partial wpartial y = yraizx^2 + y^2
Calculamos as derivadas individuais:
Já sabemos que:
partial xpartial s = -r e^-s, partial ypartial s = 2s e^-r
Agora, partial wpartial s = ( xraizx^2 + y^2 ) cdot (-r e^-s) + ( yraizx^2 + y^2 ) cdot (2s e^-r) e :
Substituindo na regra da cadeia:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial wpartial r = x e^-sraizx^2 + y^2 - y s^2 e^-rraizx^2 + y^2
e
partial wpartial s = -x r e^-sraizx^2 + y^2 + y 2s e^-rraizx^2 + y^2

Exercícios relacionados

Encontrar a derivada direcional de ln(x^2 + y^2 + z^2) no ponto (1, 2, -1) :
a) no sentido deste ponto para a origem;
b) no sentido de um vetor v tal que v · (1,2,-1) = 0.
Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo: f(x, y) = e^(x^2 - y^2)
Determinar resultado de ação de operadores diferenciais vetoriais
c) rot(f(r) r)
onde r = i x + j y + k z, f(r) é uma função arbitrária do argumento r = raiz(x^2 + y^2 + z^2).
Verifique se as funções dadas são contínuas na origem
a) f(x, y) = { (x * y) / (x^2 + y^2) se (x, y) != (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0) }