Calcule as derivadas parciais em relação a e a para as funções: ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos as derivadas parciais de em relação a e a . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação de funções com potências e a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de um jeito que fique mais fácil de derivar. A raiz cúbica pode ser expressa como potência com expoente . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a , ou seja, .
Usando a regra da potência, a derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de .
Aplicando isso:
Derivando em relação a , temos:
Então:

Passo 4

Simplificando a expressão acima:
Ou seja:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a , ou seja, .
Usando a mesma regra da potência:
Derivando em relação a , temos:
Então:

Passo 6

Simplificando a expressão acima:
Ou seja:

Resposta

As derivadas parciais são:
e

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Mostre que, se então .
Dada a função : Determine o seu domínio e o represente no plano ;
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados: ; ao redor do eixo