Calcule as derivadas parciais em relação a
e a
para as funções:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos as derivadas parciais de
em relação a
e a
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação de funções com potências e a regra do quociente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de um jeito que fique mais fácil de derivar. A raiz cúbica pode ser expressa como potência com expoente
. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Usando a regra da potência, a derivada de
em relação a
é
, e depois multiplicamos pela derivada de
.
Aplicando isso:
Derivando
em relação a
, temos:
Então:
Passo 4
Simplificando a expressão acima:
Ou seja:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Usando a mesma regra da potência:
Derivando
em relação a
, temos:
Então:
Passo 6
Simplificando a expressão acima:
Ou seja:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Mostre que, se
então
.
Dada a função
: Determine o seu domínio e o represente no plano
;
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados:
; ao redor do eixo