Dada a função
: Determine o seu domínio e o represente no plano
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o domínio da função
e representá-lo no plano
. O conteúdo aqui envolve funções de várias variáveis e como encontrar onde essa função está “valendo” (ou seja, onde ela está definida). Para resolver isso, vamos precisar entender o que faz uma função de duas variáveis ter um domínio específico, especialmente envolvendo radicais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma função com uma raiz quadrada como
estar bem definida, o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero. Isso porque não dá para tirar raiz quadrada de número negativo dentro dos números reais.
Passo 3
Então, temos que garantir que:
Isso vai nos dar uma condição para os valores de
e
que tornam a função válida.
Passo 4
Vamos rearranjar essa desigualdade para facilitar a interpretação:
Isso significa que
deve ser menor ou igual a
. Ou seja, para cada valor de
,
não pode ultrapassar
.
Passo 5
Agora, vamos pensar no que isso representa no plano
. A equação
é uma parábola que abre para cima (porque o coeficiente de
é positivo) e está deslocada 9 unidades para cima no eixo
.
Passo 6
O domínio da função, então, é todo o conjunto de pontos abaixo ou sobre essa parábola. Em termos gráficos, é a região onde
está abaixo de
, incluindo a própria curva da parábola.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
que satisfazem
. No plano
, esse domínio é representado pela região abaixo ou sobre a parábola
.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas parciais em relação a
e a
para as funções:
;
Mostre que, se
então
.
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados:
; ao redor do eixo
Considerando as funções dadas abaixo, calcule:
se
;