Dada a função : Determine o seu domínio e o represente no plano ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o domínio da função e representá-lo no plano . O conteúdo aqui envolve funções de várias variáveis e como encontrar onde essa função está “valendo” (ou seja, onde ela está definida). Para resolver isso, vamos precisar entender o que faz uma função de duas variáveis ter um domínio específico, especialmente envolvendo radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função com uma raiz quadrada como estar bem definida, o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero. Isso porque não dá para tirar raiz quadrada de número negativo dentro dos números reais.

Passo 3

Então, temos que garantir que:
Isso vai nos dar uma condição para os valores de e que tornam a função válida.

Passo 4

Vamos rearranjar essa desigualdade para facilitar a interpretação:
Isso significa que deve ser menor ou igual a . Ou seja, para cada valor de , não pode ultrapassar .

Passo 5

Agora, vamos pensar no que isso representa no plano . A equação é uma parábola que abre para cima (porque o coeficiente de é positivo) e está deslocada 9 unidades para cima no eixo .

Passo 6

O domínio da função, então, é todo o conjunto de pontos abaixo ou sobre essa parábola. Em termos gráficos, é a região onde está abaixo de , incluindo a própria curva da parábola.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pares que satisfazem . No plano , esse domínio é representado pela região abaixo ou sobre a parábola .

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas parciais em relação a e a para as funções: ;
Mostre que, se então .
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados: ; ao redor do eixo
Considerando as funções dadas abaixo, calcule:
se ;