Mostre que, se
então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se
, então
. Isso está dentro do assunto de Cálculo Diferencial, especificamente envolvendo derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e então fazer a combinação que o exercício pede.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Lembre-se que a derivada de
em relação a
é
, e depois multiplicamos pela derivada de
em relação a
(regra da cadeia).
Aqui,
, então:
Como a derivada de
em relação a
é
e a derivada de
em relação a
é 0 (pois
é tratado como constante), temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Usamos a mesma abordagem da regra da cadeia.
A derivada de
em relação a
é
e a derivada de
em relação a
é 0, então:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos calcular a expressão que o exercício pede:
.
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Agora, vamos somar as frações:
Resposta
Portanto, mostramos que
.