Mostre que, se z=ln (x^2+y^2) então x partial zpartial x+y partial zpartial y=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se , então . Isso está dentro do assunto de Cálculo Diferencial, especificamente envolvendo derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e e então fazer a combinação que o exercício pede.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial x = 1x^2 + y^2 cdot partialpartial x(x^2 + y^2) em relação a partial zpartial x = 1x^2 + y^2 cdot 2x = 2xx^2 + y^2 , ou seja, . Lembre-se que a derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a (regra da cadeia).
Aqui, , então:
Como a derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é 0 (pois é tratado como constante), temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial y = 1x^2 + y^2 cdot partialpartial y(x^2 + y^2) em relação a partial zpartial y = 1x^2 + y^2 cdot 2y = 2yx^2 + y^2 , ou seja, . Usamos a mesma abordagem da regra da cadeia.
A derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é 0, então:

Passo 4

Agora que temos x cdot 2xx^2 + y^2 + y cdot 2yx^2 + y^2 = 2x^2x^2 + y^2 + 2y^2x^2 + y^2 e , vamos calcular a expressão que o exercício pede: .
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Agora, vamos somar as frações:
2x^2 + 2y^2x^2 + y^2 = 2(x^2 + y^2)x^2 + y^2 = 2

Resposta

Portanto, mostramos que .

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