Mostre que, se então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se , então . Isso está dentro do assunto de **Cálculo Diferencial**, especificamente envolvendo derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e e então fazer a combinação que o exercício pede.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Lembre-se que a derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a (regra da cadeia). Aqui, , então: Como a derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é 0 (pois é tratado como constante), temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Usamos a mesma abordagem da regra da cadeia. A derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é 0, então:

Passo 4

Agora que temos e , vamos calcular a expressão que o exercício pede: . Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Agora, vamos somar as frações:

Resposta

Portanto, mostramos que .

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Calcule e para a função .
Calcule as derivadas parciais em relação a e a para as funções: ;
Dada a função : Determine o seu domínio e o represente no plano ;