Mostre que, se então .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se , então . Isso está dentro do assunto de **Cálculo Diferencial**, especificamente envolvendo derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e e então fazer a combinação que o exercício pede.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Lembre-se que a derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a (regra da cadeia).
Aqui, , então:
Como a derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é 0 (pois é tratado como constante), temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Usamos a mesma abordagem da regra da cadeia.
A derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é 0, então:
Passo 4
Agora que temos e , vamos calcular a expressão que o exercício pede: .
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Agora, vamos somar as frações:
Resposta
Portanto, mostramos que .
Exercícios relacionados
Calcule e para a função .
Calcule as derivadas parciais em relação a e a para as funções: ;
Dada a função : Determine o seu domínio e o represente no plano ;