Dada a função
: Determine o domínio de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa descobrir o domínio das derivadas parciais
e
. Isso envolve matemática de funções de duas variáveis e cálculo de derivadas parciais. Vamos precisar entender onde a função está definida e onde suas derivadas também existem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o domínio de uma função é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está bem definida. No caso de
, a expressão dentro da raiz quadrada precisa ser não negativa, porque não dá pra tirar raiz quadrada de número negativo nos reais.
Então, temos:
Isso nos dá uma condição para o domínio da função
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais
e
.
Para
:
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:
Para
:
Aqui, somente a parte dentro da raiz depende de
, então usamos a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos determinar onde essas derivadas estão definidas, ou seja, encontrar o domínio de
e
.
Observamos que ambas as derivadas têm a raiz quadrada
no denominador ou no numerador. Para a expressão estar definida, o denominador não pode ser zero e a expressão dentro da raiz deve ser positiva.
Portanto, as condições são:
Isso já é a mesma condição que tínhamos para o domínio da função original, mas agora reforçada para evitar divisão por zero nas derivadas.
Passo 5
Então, o domínio das derivadas parciais
e
é o conjunto de todos os pares
que satisfazem:
Isso define uma região no plano
onde
é menor que
.
Resposta
O domínio de
e
é o conjunto de todos os pares
onde
. Em termos matemáticos: