Dada a função f(x, y)=x raiz9-y+x^2 : Determine o domínio de partial fpartial x e partial fpartial y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa descobrir o domínio das derivadas parciais e . Isso envolve matemática de funções de duas variáveis e cálculo de derivadas parciais. Vamos precisar entender onde a função está definida e onde suas derivadas também existem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o domínio de uma função é o conjunto de todos os pares 9 - y + x^2 >= 0 para os quais a função está bem definida. No caso de , a expressão dentro da raiz quadrada precisa ser não negativa, porque não dá pra tirar raiz quadrada de número negativo nos reais.
Então, temos:
Isso nos dá uma condição para o domínio da função .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais partial fpartial x = raiz9 - y + x^2 + x cdot 12(9 - y + x^2)^-1/2 cdot 2x e partial fpartial x = raiz9 - y + x^2 + x^2raiz9 - y + x^2 .
Para partial fpartial y = x cdot 12(9 - y + x^2)^-1/2 cdot (-1) :
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
partial fpartial y = -x2raiz9 - y + x^2
Simplificando:
Para :
Aqui, somente a parte dentro da raiz depende de , então usamos a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos determinar onde essas derivadas estão definidas, ou seja, encontrar o domínio de e .
Observamos que ambas as derivadas têm a raiz quadrada no denominador ou no numerador. Para a expressão estar definida, o denominador não pode ser zero e a expressão dentro da raiz deve ser positiva.
Portanto, as condições são:
Isso já é a mesma condição que tínhamos para o domínio da função original, mas agora reforçada para evitar divisão por zero nas derivadas.

Passo 5

Então, o domínio das derivadas parciais 9 - y + x^2 > 0 ou seja, y < 9 + x^2 e é o conjunto de todos os pares que satisfazem:
Isso define uma região no plano onde é menor que .

Resposta

O domínio de D = , (x, y) in R^2 mid y < 9 + x^2 , e é o conjunto de todos os pares onde . Em termos matemáticos:

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