Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados:
; ao redor do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar a região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de integração para calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde as curvas
e
se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando:
Então, as soluções são
e
. Isso significa que as curvas se cruzam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a região que será girada. Entre
e
, a curva
está acima de
. Então, quando giramos essa área em torno do eixo
, formamos um sólido onde, em cada pequeno pedaço
, a área do disco é a diferença entre os círculos formados por
e
.
Passo 4
O método dos discos nos diz que o volume
é a integral da área da seção transversal ao longo do eixo de rotação. A área de cada disco é
, onde
é o raio externo e
é o raio interno.
Aqui,
e
. Então, a área do disco é:
Passo 5
Agora, vamos integrar essa expressão de
a
para encontrar o volume total:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Como estamos calculando um volume definido entre 0 e 1, a constante
se cancela.
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Simplificando:
Passo 8
Calculando a diferença:
Então:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Dada a função
: Determine o seu domínio e o represente no plano
;
Calcule as derivadas parciais em relação a
e a
para as funções:
;
Considerando as funções dadas abaixo, calcule:
se
;
Calcule as derivadas parciais
e
no ponto
para a função
.