Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados: ; ao redor do eixo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar a região delimitada pelas curvas e em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de integração para calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde as curvas e se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando:
Então, as soluções são e . Isso significa que as curvas se cruzam nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos visualizar a região que será girada. Entre e , a curva está acima de . Então, quando giramos essa área em torno do eixo , formamos um sólido onde, em cada pequeno pedaço , a área do disco é a diferença entre os círculos formados por e .

Passo 4

O método dos discos nos diz que o volume é a integral da área da seção transversal ao longo do eixo de rotação. A área de cada disco é , onde é o raio externo e é o raio interno.
Aqui, e . Então, a área do disco é:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão de a para encontrar o volume total:

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Como estamos calculando um volume definido entre 0 e 1, a constante se cancela.

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
Simplificando:

Passo 8

Calculando a diferença:
Então:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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