Calcule as derivadas parciais em relação a
e a
para as funções:
.
Passo 1
Então, a gente tem a função
e precisa calcular as derivadas parciais em relação a
e
. Isso faz parte do tema de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar usar a regra da cadeia e a regra do quociente para resolver isso.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada parcial de
em relação a
, que a gente chama de
. A função
é uma função composta, então vamos usar a regra da cadeia. Primeiro, identifique a função externa e a interna. A função externa é o cosseno, e a interna é
.
Passo 3
A regra da cadeia nos diz que a derivada de
em relação a
é
. Então, vamos derivar a parte interna
em relação a
.
Passo 4
Para derivar
em relação a
, usamos a regra do quociente. A regra do quociente diz que
, onde
e
.
Passo 5
Calculando as derivadas:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 6
Simplificando o numerador:
Então,
Passo 7
Agora, voltando à derivada de
em relação a
:
Podemos simplificar os sinais:
Passo 8
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
. O processo é semelhante ao que fizemos para
.
Passo 9
Usando novamente a regra da cadeia:
Derivando a parte interna
em relação a
:
Passo 10
Aplicando a regra do quociente:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Então,
Passo 11
Simplificando o numerador:
Então,
Passo 12
Agora, voltando à derivada de
em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de
são:
Exercícios relacionados
Calcule
e
onde
.
Seja
. Suponha que, para todo
.
a) Desenhe um campo satisfazendo as condições dadas.
b) Calcule .
a) Desenhe um campo satisfazendo as condições dadas.
b) Calcule
Calcule
, sendo
e
.
Calcule as derivadas parciais
de: