Calcule as derivadas parciais em relação a x e a y para as funções: f(x, y) = cos((x+y)/(x^2+y^2)).

Passo 1

Então, a gente tem a função e precisa calcular as derivadas parciais em relação a e . Isso faz parte do tema de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar usar a regra da cadeia e a regra do quociente para resolver isso.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial de em relação a , que a gente chama de . A função é uma função composta, então vamos usar a regra da cadeia. Primeiro, identifique a função externa e a interna. A função externa é o cosseno, e a interna é .

Passo 3

A regra da cadeia nos diz que a derivada de em relação a é . Então, vamos derivar a parte interna em relação a .

Passo 4

Para derivar em relação a , usamos a regra do quociente. A regra do quociente diz que , onde e .

Passo 5

Calculando as derivadas:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 6

Simplificando o numerador:
Então,

Passo 7

Agora, voltando à derivada de em relação a :
Podemos simplificar os sinais:

Passo 8

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é . O processo é semelhante ao que fizemos para .

Passo 9

Usando novamente a regra da cadeia:
Derivando a parte interna em relação a :

Passo 10

Aplicando a regra do quociente:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Então,

Passo 11

Simplificando o numerador:
Então,

Passo 12

Agora, voltando à derivada de em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de são:

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