Calcule integralgamma F d r, sendo F(x, y)=x i+y j e gamma(t)=(t, t^2), t in[-1,1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde e a curva para entre e . Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente sobre integrais de linha em campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva, expressar ao longo dessa curva e calcular o produto escalar .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a curva . Isso significa que, para cada valor de entre e , a posição na curva é dada pelas coordenadas e . Essa é uma parábola que vai de até , passando pelo ponto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de dgammadt = ( dxdt, dydt ) = (1, 2t) em relação a , que é . Calculando:
Então, .

Passo 4

Vamos substituir F(gamma(t)) = F(t, t^2) = t i + t^2 j = (t, t^2) na função para obter :

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F cdot dr = (t, t^2) cdot (1, 2t) = t cdot 1 + t^2 cdot 2t = t + 2t^3 :

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão de integral-1^1 (t + 2t^3) dt a :

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral t , dt = t^22
integral 2t^3 , dt = 2 cdot t^44 = t^42

Passo 8

Agora, avaliamos as integrais nos limites de [ t^22 ]-1^1 = 1^22 - (-1)^22 = 12 - 12 = 0 a [ t^42 ]-1^1 = 1^42 - (-1)^42 = 12 - 12 = 0 :

Resposta

Somando os resultados das integrais, temos . Portanto, .

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