Calcule , sendo e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde e a curva para entre e . Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente sobre integrais de linha em campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva, expressar ao longo dessa curva e calcular o produto escalar .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a curva . Isso significa que, para cada valor de entre e , a posição na curva é dada pelas coordenadas e . Essa é uma parábola que vai de até , passando pelo ponto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a , que é . Calculando:
Então, .

Passo 4

Vamos substituir na função para obter :

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão de a :

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 8

Agora, avaliamos as integrais nos limites de a :

Resposta

Somando os resultados das integrais, temos . Portanto, .

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas parciais em relação a e a para as funções: .
Calcule e onde .
Calcule as derivadas parciais de:
Dada a função : Calcule e ;