Calcule
, sendo
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
e a curva
para
entre
e
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente sobre integrais de linha em campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva, expressar
ao longo dessa curva e calcular o produto escalar
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a curva
. Isso significa que, para cada valor de
entre
e
, a posição na curva é dada pelas coordenadas
e
. Essa é uma parábola que vai de
até
, passando pelo ponto
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Calculando:
Então,
.
Passo 4
Vamos substituir
na função
para obter
:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão de
a
:
Passo 7
Vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 8
Agora, avaliamos as integrais nos limites de
a
:
Resposta
Somando os resultados das integrais, temos
. Portanto,
.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas parciais em relação a
e a
para as funções:
.
Calcule
e
onde
.
Calcule as derivadas parciais
de:
Dada a função
: Calcule
e
;