Calcule partial Fpartial x e partial Fpartial y onde F=(x^2+y^2) i+ln (x y) j.

Passo 1

Então, temos um exercício de cálculo que pede para calcular as derivadas parciais de um vetor em relação a e . A função vetorial dada é . Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação parcial, que nos permitem derivar cada componente da função vetorial em relação a uma das variáveis, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função vetorial tem duas componentes: a componente na direção é e a componente na direção é . Vamos derivar cada componente separadamente em relação a .

Passo 3

Começando com a componente partialpartial x(x^2 + y^2) = 2x + 0 = 2x :
Aqui, derivamos em relação a e obtemos . A derivada de em relação a é zero porque é tratada como uma constante quando derivamos em relação a .

Passo 4

Agora, vamos derivar a componente partialpartial x ln(xy) = 1xy cdot y = 1x :
Aqui, usamos a regra da cadeia. Derivamos onde , então a derivada é . Como , multiplicamos por e simplificamos para .

Passo 5

Juntando as duas componentes derivadas, temos:
partial Fpartial x = 2x i + 1x j

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .

Passo 7

Derivando a componente partialpartial y(x^2 + y^2) = 0 + 2y = 2y :
Aqui, a derivada de em relação a é zero porque é tratado como uma constante, e a derivada de é .

Passo 8

Derivando a componente partialpartial y ln(xy) = 1xy cdot x = 1y :
Novamente, usamos a regra da cadeia. Derivamos onde , então a derivada é . Como , multiplicamos por e simplificamos para .

Passo 9

Juntando as duas componentes derivadas, temos:
partial Fpartial y = 2y i + 1y j

Resposta

As derivadas parciais de partial Fpartial x = 2x i + 1x j são:
partial Fpartial y = 2y i + 1y j

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