Calcule e onde .

Passo 1

Então, temos um exercício de cálculo que pede para calcular as derivadas parciais de um vetor em relação a e . A função vetorial dada é . Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação parcial, que nos permitem derivar cada componente da função vetorial em relação a uma das variáveis, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função vetorial tem duas componentes: a componente na direção é e a componente na direção é . Vamos derivar cada componente separadamente em relação a .

Passo 3

Começando com a componente :
Aqui, derivamos em relação a e obtemos . A derivada de em relação a é zero porque é tratada como uma constante quando derivamos em relação a .

Passo 4

Agora, vamos derivar a componente :
Aqui, usamos a regra da cadeia. Derivamos onde , então a derivada é . Como , multiplicamos por e simplificamos para .

Passo 5

Juntando as duas componentes derivadas, temos:

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .

Passo 7

Derivando a componente :
Aqui, a derivada de em relação a é zero porque é tratado como uma constante, e a derivada de é .

Passo 8

Derivando a componente :
Novamente, usamos a regra da cadeia. Derivamos onde , então a derivada é . Como , multiplicamos por e simplificamos para .

Passo 9

Juntando as duas componentes derivadas, temos:

Resposta

As derivadas parciais de são:

Exercícios relacionados

Seja . Suponha que, para todo .
a) Desenhe um campo satisfazendo as condições dadas.
b) Calcule .
Calcule as derivadas das funções abaixo .
Calcule as derivadas parciais em relação a e a para as funções: .
Calcule , sendo e .