Calcule
e
onde
.
Passo 1
Então, temos um exercício de cálculo que pede para calcular as derivadas parciais de um vetor
em relação a
e
. A função vetorial dada é
. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação parcial, que nos permitem derivar cada componente da função vetorial em relação a uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função vetorial
tem duas componentes: a componente na direção
é
e a componente na direção
é
. Vamos derivar cada componente separadamente em relação a
.
Passo 3
Começando com a componente
:
Aqui, derivamos
em relação a
e obtemos
. A derivada de
em relação a
é zero porque
é tratada como uma constante quando derivamos em relação a
.
Passo 4
Agora, vamos derivar a componente
:
Aqui, usamos a regra da cadeia. Derivamos
onde
, então a derivada é
. Como
, multiplicamos por
e simplificamos para
.
Passo 5
Juntando as duas componentes derivadas, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 7
Derivando a componente
:
Aqui, a derivada de
em relação a
é zero porque
é tratado como uma constante, e a derivada de
é
.
Passo 8
Derivando a componente
:
Novamente, usamos a regra da cadeia. Derivamos
onde
, então a derivada é
. Como
, multiplicamos por
e simplificamos para
.
Passo 9
Juntando as duas componentes derivadas, temos:
Resposta
As derivadas parciais de
são:
Exercícios relacionados
Seja
. Suponha que, para todo
.
a) Desenhe um campo satisfazendo as condições dadas.
b) Calcule .
a) Desenhe um campo satisfazendo as condições dadas.
b) Calcule
Calcule as derivadas das funções abaixo
.
Calcule as derivadas parciais em relação a
e a
para as funções:
.
Calcule
, sendo
e
.