Seja F(x, y)=Q(x, y) j. Suponha que, para todo (x, y) in R^2, partial Qpartial x(x, y)=0.
a) Desenhe um campo satisfazendo as condições dadas.
b) Calcule nabla times F.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial F(x, y) = Q(x, y) j, onde a componente Q não depende de x, ou seja, partial Qpartial x(x, y) = 0. O conteúdo envolve campos vetoriais e cálculo de rotacional. Para resolver, vamos desenhar um exemplo de campo que satisfaça essa condição e depois calcular o rotacional desse campo.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um campo vetorial onde F(x, y) = Q(y) j. Como Q não depende de x, podemos escolher, por exemplo, Q(y) = y. Assim, nosso campo fica F(x, y) = y j. Esse campo tem vetores apontando na direção y com magnitude proporcional a y.

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de F. O rotacional em duas dimensões é dado por:
nabla times F = partial Fypartial x - partial Fxpartial y
No nosso caso, F = 0 i + y j, então Fx = 0 e Fy = y.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
partial Fypartial x = partial ypartial x = 0
partial Fxpartial y = partial 0partial y = 0
Portanto, o rotacional é:
nabla times F = 0 - 0 = 0

Resposta

O rotacional de F é igual a zero, ou seja, nabla times F = 0.

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