Seja
. Suponha que, para todo
.
a) Desenhe um campo satisfazendo as condições dadas.
b) Calcule
.
a) Desenhe um campo satisfazendo as condições dadas.
b) Calcule
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial
, onde a componente
não depende de
, ou seja,
. O conteúdo envolve campos vetoriais e cálculo de rotacional. Para resolver, vamos desenhar um exemplo de campo que satisfaça essa condição e depois calcular o rotacional desse campo.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um campo vetorial onde
. Como
não depende de
, podemos escolher, por exemplo,
. Assim, nosso campo fica
. Esse campo tem vetores apontando na direção
com magnitude proporcional a
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional de
. O rotacional em duas dimensões é dado por:
No nosso caso,
, então
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Portanto, o rotacional é:
Resposta
O rotacional de
é igual a zero, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas das funções abaixo
.
Calcule as derivadas das funções abaixo
.
Calcule
e
onde
.
Calcule as derivadas parciais em relação a
e a
para as funções:
.