Seja . Suponha que, para todo .
a) Desenhe um campo satisfazendo as condições dadas.
b) Calcule .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial , onde a componente não depende de , ou seja, . O conteúdo envolve campos vetoriais e cálculo de rotacional. Para resolver, vamos desenhar um exemplo de campo que satisfaça essa condição e depois calcular o rotacional desse campo.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um campo vetorial onde . Como não depende de , podemos escolher, por exemplo, . Assim, nosso campo fica . Esse campo tem vetores apontando na direção com magnitude proporcional a .

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de . O rotacional em duas dimensões é dado por:
No nosso caso, , então e .

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
Portanto, o rotacional é:

Resposta

O rotacional de é igual a zero, ou seja, .

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas das funções abaixo .
Calcule as derivadas das funções abaixo .
Calcule e onde .
Calcule as derivadas parciais em relação a e a para as funções: .