Determine e represente graficamente o domínio da função
dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar e representar graficamente o domínio da função
definida por:
Aqui, vamos precisar usar conceitos de funções de duas variáveis e domínio de funções racionais. Para resolver, precisamos identificar quais valores de
e
tornam a função válida, ou seja, onde o denominador não é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função, que são todos os pares
onde a função está bem definida. Como temos uma função racional (uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são expressões polinomiais), precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não é permitida.
Portanto, vamos encontrar os valores de
e
que satisfazem:
Passo 3
Vamos resolver a inequação:
Como estamos lidando com números reais, a única solução para
é quando
. Isso porque a função cúbica é injetora no conjunto dos números reais, ou seja, valores diferentes de
resultam em valores diferentes de
.
Portanto, a condição para o domínio é que
não pode ser igual a
.
Passo 4
Agora, vamos descrever o domínio graficamente. No plano
, isso significa que todos os pontos são permitidos exceto aqueles onde
. Geometricamente, a linha
é uma reta que passa pela origem com inclinação de 45 graus.
Então, o domínio é o plano inteiro menos a reta
.
Resposta
O domínio da função
é todos os pares
reais, exceto aqueles que satisfazem
. Graficamente, esse domínio corresponde ao plano
todo menos a reta
.
Exercícios relacionados
Verifique a diferenciabilidade das funções nos pontos indicados:
em
e
pontos
e
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Calcule o valor de
pontos
e
e o conjunto dos pontos
tal que
.
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções: