Determine e represente graficamente o domínio da função dada por

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar e representar graficamente o domínio da função definida por:
Aqui, vamos precisar usar conceitos de funções de duas variáveis e domínio de funções racionais. Para resolver, precisamos identificar quais valores de e tornam a função válida, ou seja, onde o denominador não é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio da função, que são todos os pares onde a função está bem definida. Como temos uma função racional (uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são expressões polinomiais), precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não é permitida.
Portanto, vamos encontrar os valores de e que satisfazem:

Passo 3

Vamos resolver a inequação:
Como estamos lidando com números reais, a única solução para é quando . Isso porque a função cúbica é injetora no conjunto dos números reais, ou seja, valores diferentes de resultam em valores diferentes de .
Portanto, a condição para o domínio é que não pode ser igual a .

Passo 4

Agora, vamos descrever o domínio graficamente. No plano , isso significa que todos os pontos são permitidos exceto aqueles onde . Geometricamente, a linha é uma reta que passa pela origem com inclinação de 45 graus.
Então, o domínio é o plano inteiro menos a reta .

Resposta

O domínio da função é todos os pares reais, exceto aqueles que satisfazem . Graficamente, esse domínio corresponde ao plano todo menos a reta .

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