Calcule as derivadas parciais fx, fy, fxx, fyy, fxy e f_yx das seguintes funções: g(x, y) = ln(x^2 + y^2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos calcular suas derivadas parciais: , , , , e . Isso caiu na matéria de cálculo multivariável, especificamente nas derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções de várias variáveis em relação a uma delas, mantendo as outras constantes.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada parcial em relação a , ou seja, . A derivada parcial de uma função em relação a uma das suas variáveis é calculada tratando as outras variáveis como constantes.
A função é:
Derivando em relação a :
Usamos a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a , ou seja, .
Derivando a mesma função em relação a :
Aplicando a regra da cadeia novamente:

Passo 4

Vamos calcular a segunda derivada parcial em relação a , ou seja, .
Já temos .
Derivando em relação a :
Usamos a regra do quociente:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial em relação a , ou seja, .
Já temos .
Derivando em relação a :
Aplicando a regra do quociente:

Passo 6

Vamos calcular a derivada mista , que é a derivada de em relação a .
Já temos .
Derivando em relação a :
Usando a regra do quociente:

Passo 7

Por fim, vamos calcular a derivada mista , que é a derivada de em relação a .
Já temos .
Derivando em relação a :
Aplicando a regra do quociente:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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