Calcule as derivadas parciais
e
das seguintes funções:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos calcular suas derivadas parciais:
,
,
,
,
e
. Isso caiu na matéria de cálculo multivariável, especificamente nas derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções de várias variáveis em relação a uma delas, mantendo as outras constantes.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada parcial em relação a
, ou seja,
. A derivada parcial de uma função em relação a uma das suas variáveis é calculada tratando as outras variáveis como constantes.
A função é:
Derivando em relação a
:
Usamos a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Derivando a mesma função em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia novamente:
Passo 4
Vamos calcular a segunda derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Já temos
.
Derivando
em relação a
:
Usamos a regra do quociente:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Já temos
.
Derivando
em relação a
:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 6
Vamos calcular a derivada mista
, que é a derivada de
em relação a
.
Já temos
.
Derivando
em relação a
:
Usando a regra do quociente:
Passo 7
Por fim, vamos calcular a derivada mista
, que é a derivada de
em relação a
.
Já temos
.
Derivando
em relação a
:
Aplicando a regra do quociente:
Resposta
As derivadas parciais da função
são: