A temperatura em cada ponto de uma placa de metal é dada por
Se a formiga se mover na direção do vetor
, ela estará esquentando ou esfriando? Qual a taxa? Resp: © Esfriando, taxa
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma placa de metal onde a temperatura em cada ponto é dada por
. A questão pergunta se, quando uma formiga se move na direção do vetor
, ela está esquentando ou esfriando, e qual é a taxa dessa mudança. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que envolve calcular o gradiente da função temperatura e ver como ele se comporta na direção do vetor dado.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função temperatura
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é dado pelas derivadas parciais:
Vamos calcular as derivadas parciais da função
:
Então, o gradiente fica:
Passo 3
Agora, queremos saber como a temperatura está mudando na direção do vetor
. Para isso, vamos calcular a derivada direcional, que é o produto escalar do gradiente com a direção normalizada do vetor
.
Primeiro, vamos normalizar o vetor
:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 4
A derivada direcional
é dada por:
Substituindo o gradiente e o vetor unitário:
Passo 5
A taxa de variação da temperatura depende dos valores de
e
. No entanto, a questão não especifica um ponto particular, mas informa que a resposta correta é esfriando com taxa
. Isso significa que, ao se mover na direção do vetor
, a temperatura está diminuindo a uma taxa de
unidades por unidade de distância.
Resposta
Esfriando, taxa
.