Beleza, vamos lá! A gente tem uma placa de metal onde a temperatura em cada ponto é dada por . A questão pergunta se, quando uma formiga se move na direção do vetor , ela está esquentando ou esfriando, e qual é a taxa dessa mudança. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que envolve calcular o gradiente da função temperatura e ver como ele se comporta na direção do vetor dado.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função temperatura . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é dado pelas derivadas parciais:
Vamos calcular as derivadas parciais da função :
Então, o gradiente fica:
Passo 3
Agora, queremos saber como a temperatura está mudando na direção do vetor . Para isso, vamos calcular a derivada direcional, que é o produto escalar do gradiente com a direção normalizada do vetor .
Primeiro, vamos normalizar o vetor :
Então, o vetor unitário na direção de é:
Passo 4
A derivada direcional é dada por:
Substituindo o gradiente e o vetor unitário:
Passo 5
A taxa de variação da temperatura depende dos valores de e . No entanto, a questão não especifica um ponto particular, mas informa que a resposta correta é esfriando com taxa . Isso significa que, ao se mover na direção do vetor , a temperatura está diminuindo a uma taxa de unidades por unidade de distância.