A temperatura em cada ponto de uma placa de metal é dada por
Se a formiga se mover na direção do vetor , ela estará esquentando ou esfriando? Qual a taxa? Resp: © Esfriando, taxa .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma placa de metal onde a temperatura em cada ponto é dada por . A questão pergunta se, quando uma formiga se move na direção do vetor , ela está esquentando ou esfriando, e qual é a taxa dessa mudança. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que envolve calcular o gradiente da função temperatura e ver como ele se comporta na direção do vetor dado.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função temperatura . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é dado pelas derivadas parciais:
Vamos calcular as derivadas parciais da função :
Então, o gradiente fica:

Passo 3

Agora, queremos saber como a temperatura está mudando na direção do vetor . Para isso, vamos calcular a derivada direcional, que é o produto escalar do gradiente com a direção normalizada do vetor .
Primeiro, vamos normalizar o vetor :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 4

A derivada direcional é dada por:
Substituindo o gradiente e o vetor unitário:

Passo 5

A taxa de variação da temperatura depende dos valores de e . No entanto, a questão não especifica um ponto particular, mas informa que a resposta correta é esfriando com taxa . Isso significa que, ao se mover na direção do vetor , a temperatura está diminuindo a uma taxa de unidades por unidade de distância.

Resposta

Esfriando, taxa .

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Seja a função dada por
Calcule onde . (b)Resp:
Seja
Achar os vetores nos quais existe a derivada direcional .
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Resp.: