Seja z=f(x, y) uma função de classe C^2 numa vizinhança de p=(a, b) e suponha que p é um ponto crítico de f. Considere D=partial^2 fpartial x^2(a, b) partial^2 fpartial y^2(a, b)-partial^2 fpartial x partial y(a, b) partial^2 fpartial y partial x(a, b). Mostre que: Se D<0 então f(a, b) é ponto de sela; Dica: Observe que D é o determinante da matriz Hessiana. Use o polinômio de Taylor de f de ordem 2 .

Passo 1

Então, a gente tem uma função de duas variáveis, , que é bem comportada (classe ) perto de um ponto . Esse ponto é um ponto crítico, ou seja, as derivadas parciais de primeira ordem de em são zero. A gente precisa mostrar que se , onde é o determinante da matriz Hessiana de em , então é um ponto de sela. Para isso, vamos precisar entender o que é a matriz Hessiana, calcular seu determinante, e usar o polinômio de Taylor de segunda ordem para analisar o comportamento da função perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que um ponto crítico partial fpartial x(a, b) = 0 e partial fpartial y(a, b) = 0 é onde as derivadas parciais de primeira ordem são zero:
Isso significa que não há inclinação na direção de nem na direção de em .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a matriz Hessiana. Ela é uma matriz que contém todas as derivadas parciais de segunda ordem de H = partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial x partial y partial^2 fpartial y partial x & partial^2 fpartial y^2 :
D = partial^2 fpartial x^2 cdot partial^2 fpartial y^2 - ( partial^2 fpartial x partial y )^2
O determinante dessa matriz é dado por:
Esse valor nos ajuda a determinar a natureza do ponto crítico .

Passo 4

Vamos usar o polinômio de Taylor de segunda ordem para aproximar f(x, y) approx f(a, b) + 12 [ partial^2 fpartial x^2(a, b)(x - a)^2 + 2 partial^2 fpartial x partial y(a, b)(x - a)(y - b) + partial^2 fpartial y^2(a, b)(y - b)^2 ] perto de :
Como é um ponto crítico, os termos de primeira ordem desaparecem. O comportamento da função perto de depende dos sinais dos coeficientes no polinômio de Taylor.

Passo 5

Se , isso significa que os coeficientes das variáveis e têm sinais opostos. Assim, o polinômio de Taylor representa uma hipérbole, indicando que a função tem direções de concavidade oposta. Isso caracteriza um ponto de sela, onde a função sobe em uma direção e desce em outra.

Resposta

Portanto, se , então é um ponto de sela.

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