Seja uma função de classe numa vizinhança de e suponha que é um ponto crítico de . Considere . Mostre que: Se então é ponto de sela; Dica: Observe que é o determinante da matriz Hessiana. Use o polinômio de Taylor de de ordem 2 .
Passo 1
Então, a gente tem uma função de duas variáveis, , que é bem comportada (classe ) perto de um ponto . Esse ponto é um ponto crítico, ou seja, as derivadas parciais de primeira ordem de em são zero. A gente precisa mostrar que se , onde é o determinante da matriz Hessiana de em , então é um ponto de sela. Para isso, vamos precisar entender o que é a matriz Hessiana, calcular seu determinante, e usar o polinômio de Taylor de segunda ordem para analisar o comportamento da função perto de .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que um ponto crítico é onde as derivadas parciais de primeira ordem são zero:
Isso significa que não há inclinação na direção de nem na direção de em .
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a matriz Hessiana. Ela é uma matriz que contém todas as derivadas parciais de segunda ordem de :
O determinante dessa matriz é dado por:
Esse valor nos ajuda a determinar a natureza do ponto crítico .
Passo 4
Vamos usar o polinômio de Taylor de segunda ordem para aproximar f(x, y) approx f(a, b) + 12 [ partial^2 fpartial x^2(a, b)(x - a)^2 + 2 partial^2 fpartial x partial y(a, b)(x - a)(y - b) + partial^2 fpartial y^2(a, b)(y - b)^2 ] perto de :
Como é um ponto crítico, os termos de primeira ordem desaparecem. O comportamento da função perto de depende dos sinais dos coeficientes no polinômio de Taylor.
Passo 5
Se , isso significa que os coeficientes das variáveis e têm sinais opostos. Assim, o polinômio de Taylor representa uma hipérbole, indicando que a função tem direções de concavidade oposta. Isso caracteriza um ponto de sela, onde a função sobe em uma direção e desce em outra.