Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais da função
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar funções que dependem de mais de uma variável, tratando cada variável de forma independente enquanto a outra é considerada constante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de duas variáveis, como
, a derivada parcial em relação a
(escrita como
) significa que derivamos a função em relação a
, tratando
como uma constante. O mesmo vale para a derivada parcial em relação a
.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é:
Aqui,
é uma constante em relação a
, então podemos tratar
como um fator constante.
Então, derivando
em relação a
, temos:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é:
Aqui,
é uma constante em relação a
, então podemos aplicar a regra do quociente ou pensar como
vezes
.
Usando a regra da potência:
Multiplicando pela constante
:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
Exercícios relacionados
Calcule o valor de
pontos
e
e o conjunto dos pontos
tal que
.
Determine e represente graficamente o domínio da função
dada por
Verifique os pontos de continuidade das funções.
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções: