Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar funções que dependem de mais de uma variável, tratando cada variável de forma independente enquanto a outra é considerada constante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de duas variáveis, como , a derivada parcial em relação a (escrita como ) significa que derivamos a função em relação a , tratando como uma constante. O mesmo vale para a derivada parcial em relação a .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é:
Aqui, é uma constante em relação a , então podemos tratar como um fator constante.
Então, derivando em relação a , temos:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é:
Aqui, é uma constante em relação a , então podemos aplicar a regra do quociente ou pensar como vezes .
Usando a regra da potência:
Multiplicando pela constante :

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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Determine e represente graficamente o domínio da função dada por
Verifique os pontos de continuidade das funções.
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções: