Calcule as derivadas parciais das seguintes funções: q(x, y, z) = ln(x + y + z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais da função . Isso está relacionado ao conteúdo de derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de múltiplas variáveis. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da derivada da função logarítmica e entender como derivar em relação a cada variável mantendo as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Quando fazemos uma derivada parcial em relação a , consideramos e como constantes.
Sabemos que a derivada de em relação a é . Então, aplicando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Como e são constantes, a derivada de em relação a é 1, e as derivadas de e são 0.
Então:

Passo 4

Substituindo isso de volta na expressão da derivada parcial:

Passo 5

De forma similar, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , .
Aplicando a mesma lógica:
Como a derivada de em relação a é 1 e as outras variáveis são constantes:

Passo 6

Substituindo na expressão da derivada parcial:

Passo 7

Finalmente, calculamos a derivada parcial de em relação a , , seguindo o mesmo procedimento:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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