Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais da função
. Isso está relacionado ao conteúdo de derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de múltiplas variáveis. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da derivada da função logarítmica e entender como derivar em relação a cada variável mantendo as outras constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Quando fazemos uma derivada parcial em relação a
, consideramos
e
como constantes.
Sabemos que a derivada de
em relação a
é
. Então, aplicando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
. Como
e
são constantes, a derivada de
em relação a
é 1, e as derivadas de
e
são 0.
Então:
Passo 4
Substituindo isso de volta na expressão da derivada parcial:
Passo 5
De forma similar, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
,
.
Aplicando a mesma lógica:
Como a derivada de
em relação a
é 1 e as outras variáveis são constantes:
Passo 6
Substituindo na expressão da derivada parcial:
Passo 7
Finalmente, calculamos a derivada parcial de
em relação a
,
, seguindo o mesmo procedimento:
Resposta
As derivadas parciais da função
são: