Verifique os pontos de continuidade das funções.
f(x, y)=cl x sen(1x^2+y^2), & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar os pontos de continuidade da função f(x, y) = x cdot sin(1x^2 + y^2), & se (x, y) neq (0,0) 0, & se (x, y) = (0,0) . A função é definida por:
O conteúdo envolvido aqui é o estudo de continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o conceito de limite em várias variáveis e como aplicá-lo para verificar a continuidade nos diferentes pontos do domínio da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = f(a, b) é contínua em um ponto se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Vamos verificar a continuidade em dois casos: quando e no ponto .

Passo 3

Para todos os pontos onde , a função é composta por funções contínuas (produto de e seno de uma expressão contínua). Portanto, nesses pontos, a função é contínua.

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade no ponto lim(x, y) to (0,0) x cdot sin(1x^2 + y^2) . Precisamos calcular:
|x cdot sin(1x^2 + y^2)| <= |x| cdot 1 = |x|
Sabemos que lim(x, y) to (0,0) x cdot sin(1x^2 + y^2) = 0 para qualquer lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = f(0,0) . Portanto:
À medida que se aproxima de , tende a 0. Assim, pelo Teorema do Squeeze (ou Sandwich):
E como , temos que:
Portanto, a função é contínua no ponto .

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do seu domínio .

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