Verifique os pontos de continuidade das funções.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar os pontos de continuidade da função
. A função é definida por:
O conteúdo envolvido aqui é o estudo de continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o conceito de limite em várias variáveis e como aplicá-lo para verificar a continuidade nos diferentes pontos do domínio da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função
é contínua em um ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Vamos verificar a continuidade em dois casos: quando
e no ponto
.
Passo 3
Para todos os pontos onde
, a função
é composta por funções contínuas (produto de
e seno de uma expressão contínua). Portanto, nesses pontos, a função
é contínua.
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade no ponto
. Precisamos calcular:
Sabemos que
para qualquer
. Portanto:
À medida que
se aproxima de
,
tende a 0. Assim, pelo Teorema do Squeeze (ou Sandwich):
E como
, temos que:
Portanto, a função é contínua no ponto
.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos do seu domínio
.
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Calcule o valor de
pontos
e
e o conjunto dos pontos
tal que
.
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nos pontos
e