Verifique os pontos de continuidade das funções.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar os pontos de continuidade da função . A função é definida por:
O conteúdo envolvido aqui é o estudo de continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o conceito de limite em várias variáveis e como aplicá-lo para verificar a continuidade nos diferentes pontos do domínio da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Vamos verificar a continuidade em dois casos: quando e no ponto .

Passo 3

Para todos os pontos onde , a função é composta por funções contínuas (produto de e seno de uma expressão contínua). Portanto, nesses pontos, a função é contínua.

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade no ponto . Precisamos calcular:
Sabemos que para qualquer . Portanto:
À medida que se aproxima de , tende a 0. Assim, pelo Teorema do Squeeze (ou Sandwich):
E como , temos que:
Portanto, a função é contínua no ponto .

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do seu domínio .

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