Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais da função . Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente quando trabalhamos com funções de várias variáveis. Para isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como aplicá-las nessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função com mais de uma variável, como , a derivada parcial em relação a uma variável é a taxa de variação da função quando apenas essa variável muda, mantendo as outras constantes. Ou seja, para , consideramos como constante, e para , consideramos como constante.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é .
A função é . Quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante. A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é , já que é constante.
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é .
A função continua sendo . Desta vez, derivamos em relação a , tratando como constante. A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é , já que é constante.
Então:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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