Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais da função
. Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente quando trabalhamos com funções de várias variáveis. Para isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como aplicá-las nessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função com mais de uma variável, como
, a derivada parcial em relação a uma variável é a taxa de variação da função quando apenas essa variável muda, mantendo as outras constantes. Ou seja, para
, consideramos
como constante, e para
, consideramos
como constante.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
.
A função é
. Quando derivamos em relação a
, tratamos
como uma constante. A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é
, já que
é constante.
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
.
A função continua sendo
. Desta vez, derivamos em relação a
, tratando
como constante. A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é
, já que
é constante.
Então:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
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Verifique a diferenciabilidade das funções nos pontos indicados:
nos pontos
e
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Verifique a diferenciabilidade das funções nos pontos indicados:
em
e
nos pontos
e
.
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções: