Verifique a diferenciabilidade das funções nos pontos indicados: nos pontos e

Passo 1

Beleza! A gente tem que verificar se a função é diferenciável nos pontos e . Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e como usar as derivadas parciais para confirmar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é diferenciável em um ponto se ela tiver derivadas parciais contínuas nesse ponto. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 3

A derivada parcial de em relação a é:
Da mesma forma, as derivadas parciais em relação a e são:

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade dessas derivadas parciais nos pontos e .
Primeiro, no ponto :
Então, as derivadas parciais calculadas são:
Essas derivadas são constantes e, portanto, contínuas no ponto.

Passo 5

No ponto :
As derivadas parciais são:
Novamente, essas derivadas são constantes e contínuas nesse ponto.

Passo 6

Como as derivadas parciais de são contínuas em ambos os pontos e , podemos concluir que a função é diferenciável nesses pontos.

Resposta

A função é diferenciável nos pontos e .

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Verifique a diferenciabilidade das funções nos pontos indicados: em e nos pontos e .