Verifique a diferenciabilidade das funções nos pontos indicados:
nos pontos
e
Passo 1
Beleza! A gente tem que verificar se a função
é diferenciável nos pontos
e
. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e como usar as derivadas parciais para confirmar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é diferenciável em um ponto se ela tiver derivadas parciais contínuas nesse ponto. Então, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 3
A derivada parcial de
em relação a
é:
Da mesma forma, as derivadas parciais em relação a
e
são:
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade dessas derivadas parciais nos pontos
e
.
Primeiro, no ponto
:
Então, as derivadas parciais calculadas são:
Essas derivadas são constantes e, portanto, contínuas no ponto.
Passo 5
No ponto
:
As derivadas parciais são:
Novamente, essas derivadas são constantes e contínuas nesse ponto.
Passo 6
Como as derivadas parciais de
são contínuas em ambos os pontos
e
, podemos concluir que a função
é diferenciável nesses pontos.
Resposta
A função
é diferenciável nos pontos
e
.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Verifique os pontos de continuidade das funções.
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Verifique a diferenciabilidade das funções nos pontos indicados:
em
e
nos pontos
e
.