Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver as derivadas parciais da função . Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é composta por duas partes: e .
Para a primeira parte, derivar em relação a é simples:
Porque e são tratados como constantes quando derivamos em relação a .
Para a segunda parte, , usamos a regra do produto:
Agora, aplicamos a regra da cadeia para derivar :
Então, a derivada da segunda parte fica:
Somando as duas partes:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, dividimos a função em duas partes: e .
Derivando em relação a :
Para a segunda parte, , usamos a regra do produto:
Aplicando a regra da cadeia:
Portanto, a derivada da segunda parte é:
Somando as duas partes:

Passo 4

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Dividimos a função em e .
Derivando em relação a :
Para a segunda parte, , usamos a regra do produto:
Onde a primeira derivada é do termo e a segunda usa a regra da cadeia:
Então, a derivada da segunda parte fica:
Somando as duas partes:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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Identifique as seguintes funções como crescentes © ou decrescentes (D):
(a)
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Se e são funções de em dadas por e . Determine:
(a)
Se e são funções de em dadas por e . Determine:
(b)