Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver as derivadas parciais da função
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função
é composta por duas partes:
e
.
Para a primeira parte, derivar
em relação a
é simples:
Porque
e
são tratados como constantes quando derivamos em relação a
.
Para a segunda parte,
, usamos a regra do produto:
Agora, aplicamos a regra da cadeia para derivar
:
Então, a derivada da segunda parte fica:
Somando as duas partes:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, dividimos a função em duas partes:
e
.
Derivando
em relação a
:
Para a segunda parte,
, usamos a regra do produto:
Aplicando a regra da cadeia:
Portanto, a derivada da segunda parte é:
Somando as duas partes:
Passo 4
Por fim, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Dividimos a função em
e
.
Derivando
em relação a
:
Para a segunda parte,
, usamos a regra do produto:
Onde a primeira derivada é do termo
e a segunda usa a regra da cadeia:
Então, a derivada da segunda parte fica:
Somando as duas partes:
Resposta
As derivadas parciais da função são:
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Identifique as seguintes funções como crescentes © ou decrescentes (D):
(a)
(a)
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Se
e
são funções de
em
dadas por
e
. Determine:
(a)
(a)
Se
e
são funções de
em
dadas por
e
. Determine:
(b)
(b)