Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular as derivadas parciais da função
. Aqui, “derivadas parciais” significam que vamos derivar a função em relação a cada uma das variáveis
,
e
individualmente, mantendo as outras constantes. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções compostas e usar as regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que é
. Parece que há um erro de digitação, e provavelmente a função correta é
, que é a função arco seno hiperbólico. Então, nossa função fica:
A função é a inversa da função seno hiperbólico, e sabemos que sua derivada é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Para isso, usamos a regra da cadeia. Primeiro, identificamos que
, então:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 4
Seguimos para a derivada parcial de
em relação a
. A abordagem é a mesma:
Calculamos cada parte:
Então:
Passo 5
Por fim, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Calculamos cada parte:
Então:
Resposta
As derivadas parciais da função são: