Calcule as derivadas parciais de segunda ordem:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que nos permitem ver como a função muda em relação a cada variável individualmente. Para isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. A função é
, e ao derivar em relação a
, tratamos
como uma constante.
Usando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos derivar
novamente em relação a
para encontrar a derivada parcial de segunda ordem
.
Aqui, usamos a regra do produto:
Passo 4
Vamos agora encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
.
Passo 5
Finalmente, vamos derivar
novamente em relação a
para encontrar a derivada parcial de segunda ordem
.
Usando a regra do produto:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função são:
Exercícios relacionados
Suponha que, para a série
, tenhamos
. Quanto vale
? A série converge?
Encontre o volume do sólido delimitado por
e
.
e