Calcule as derivadas parciais de segunda ordem:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que nos permitem ver como a função muda em relação a cada variável individualmente. Para isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a , que chamamos de . A função é , e ao derivar em relação a , tratamos como uma constante.
Usando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente em relação a para encontrar a derivada parcial de segunda ordem .
Aqui, usamos a regra do produto:

Passo 4

Vamos agora encontrar a primeira derivada parcial de em relação a , que chamamos de .

Passo 5

Finalmente, vamos derivar novamente em relação a para encontrar a derivada parcial de segunda ordem .
Usando a regra do produto:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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e