Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos encontrar o volume de um sólido que é limitado por duas superfícies: o cilindro e a superfície . Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais múltiplas, especificamente coordenadas cilíndricas, que são super úteis quando temos simetria circular, como nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas equações que delimitam o sólido:
Cilindro: . Isso representa um cilindro circular com raio 1, alinhado ao eixo y.
Superfície: . Podemos reescrever isso como , onde . Isso é a equação de um cone com vértice na origem e simétrico em relação ao eixo y.
Passo 3
Como temos simetria circular, é melhor mudar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
O elemento de volume é
Passo 4
Vamos identificar os limites de integração:
Para : Vai de a para cobrir toda a volta ao redor do eixo y.
Para : O cilindro tem , então varia de a .
Para : O cone dá , então para cada , varia de a .
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :
Passo 7
Substituímos o resultado na integral e resolvemos em relação a :