Encontre o volume do sólido delimitado por e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos encontrar o volume de um sólido que é limitado por duas superfícies: o cilindro e a superfície . Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais múltiplas, especificamente coordenadas cilíndricas, que são super úteis quando temos simetria circular, como nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas equações que delimitam o sólido:
  1. Cilindro: . Isso representa um cilindro circular com raio 1, alinhado ao eixo y.
  2. Superfície: . Podemos reescrever isso como , onde . Isso é a equação de um cone com vértice na origem e simétrico em relação ao eixo y.

Passo 3

Como temos simetria circular, é melhor mudar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
  • O elemento de volume é

Passo 4

Vamos identificar os limites de integração:
  • Para : Vai de a para cobrir toda a volta ao redor do eixo y.
  • Para : O cilindro tem , então varia de a .
  • Para : O cone dá , então para cada , varia de a .

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :

Passo 7

Substituímos o resultado na integral e resolvemos em relação a :
Integrando em relação a :

Passo 8

Agora, resta integrar em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Seja .
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(a)