(2,0) Verifique que se a função z=ln (e^-x-e^-y) é uma solução das equações diferenciais
partial zpartial x+partial zpartial y=-1
e
partial^2 zpartial x^2 partial^2 zpartial y^2-(partial^2 zpartial x partial y)^2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a função satisfaz duas equações diferenciais parciais. Isso envolve cálculo de derivadas parciais, que é um tema de cálculo multivariável. Vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas de em relação a e e então substituir nessas equações para ver se tudo confere.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de partial upartial x = partialpartial x ( e^-x - e^-y ) = -e^-x - 0 = -e^-x em relação a partial zpartial x = 1e^-x - e^-y cdot (-e^-x) = -e^-x e^-x - e^-y e . Lembre-se que uma derivada parcial é como a derivada normal, mas a gente considera uma variável de cada vez, mantendo a outra constante.
Começando com :
Sabemos que onde . A derivada de em relação a é .
Calculando :
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular partial zpartial y = 1u cdot partial upartial y de maneira similar.
partial upartial y = partialpartial y ( e^-x - e^-y ) = 0 - (-e^-y) = e^-y
Calculando partial zpartial y = 1e^-x - e^-y cdot e^-y = e^-y e^-x - e^-y :
Então,

Passo 4

Agora que temos partial zpartial x + partial zpartial y = -e^-x e^-x - e^-y + e^-y e^-x - e^-y = -e^-x + e^-y e^-x - e^-y = -(e^-x - e^-y) e^-x - e^-y = -1 e , vamos somá-las para verificar a primeira equação diferencial:
Então, a primeira equação é satisfeita!

Passo 5

Agora, vamos para a segunda equação diferencial envolvendo as derivadas segundas:
partial^2 zpartial x^2 partial^2 zpartial y^2 - ( partial^2 zpartial x partial y )^2 = 0
Primeiro, precisamos calcular as derivadas segundas:
Vamos começar com partial^2 zpartial x^2 = partial partial x ( -e^-x e^-x - e^-y ) :
Já temos partial^2 zpartial x^2 = (e^-x)(e^-x - e^-y) - (-e^-x)(-e^-x) (e^-x - e^-y)^2 = e^-x(e^-x - e^-y) - e^-2x (e^-x - e^-y)^2 = e^-2x - e^-x - y - e^-2x (e^-x - e^-y)^2 = -e^-x - y (e^-x - e^-y)^2 . Vamos derivar isso em relação a partial^2 zpartial x^2 = -e^-x - y (e^-x - e^-y)^2 :
Aplicando a regra do quociente:
Então,

Passo 6

Agora, vamos calcular partial^2 zpartial y^2 = partial partial y ( e^-y e^-x - e^-y ) . De forma semelhante:
Primeiro, temos partial^2 zpartial y^2 = (-e^-y)(e^-x - e^-y) - e^-y(e^-y) (e^-x - e^-y)^2 = -e^-x - y + e^-2y - e^-2y (e^-x - e^-y)^2 = -e^-x - y (e^-x - e^-y)^2 . Derivando em relação a partial^2 zpartial y^2 = -e^-x - y (e^-x - e^-y)^2 :
Aplicando a regra do quociente:
Então,

Passo 7

Agora, vamos calcular partial^2 zpartial x partial y = partial partial y ( -e^-x e^-x - e^-y ) . Primeiro, derivamos partial^2 zpartial x partial y = 0 cdot (e^-x - e^-y) - (-e^-x)(e^-y) (e^-x - e^-y)^2 = e^-x - y (e^-x - e^-y)^2 em relação a partial^2 zpartial x partial y = e^-x - y (e^-x - e^-y)^2 :
Aplicando a regra do quociente:
Então,

Passo 8

Agora que temos todas as derivadas segundas, vamos substituir na segunda equação diferencial:
partial^2 zpartial x^2 partial^2 zpartial y^2 - ( partial^2 zpartial x partial y )^2 = ( -e^-x - y (e^-x - e^-y)^2 ) ( -e^-x - y (e^-x - e^-y)^2 ) - ( e^-x - y (e^-x - e^-y)^2 )^2
Simplificando:
= e^-2(x + y) (e^-x - e^-y)^4 - e^-2(x + y) (e^-x - e^-y)^4 = 0
Então, a segunda equação também é satisfeita!

Resposta

Sim, a função satisfaz ambas as equações diferenciais dadas.

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