Verifique que se a função
é uma solução das equações diferenciais
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a função
satisfaz duas equações diferenciais parciais. Isso envolve cálculo de derivadas parciais, que é um tema de cálculo multivariável. Vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas de
em relação a
e
e então substituir nessas equações para ver se tudo confere.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. Lembre-se que uma derivada parcial é como a derivada normal, mas a gente considera uma variável de cada vez, mantendo a outra constante.
Começando com
:
Sabemos que
onde
. A derivada de
em relação a
é
.
Calculando
:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular
de maneira similar.
Calculando
:
Então,
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos somá-las para verificar a primeira equação diferencial:
Então, a primeira equação é satisfeita!
Passo 5
Agora, vamos para a segunda equação diferencial envolvendo as derivadas segundas:
Primeiro, precisamos calcular as derivadas segundas:
Vamos começar com
:
Já temos
. Vamos derivar isso em relação a
:
Aplicando a regra do quociente:
Então,
Passo 6
Agora, vamos calcular
. De forma semelhante:
Primeiro, temos
. Derivando em relação a
:
Aplicando a regra do quociente:
Então,
Passo 7
Agora, vamos calcular
. Primeiro, derivamos
em relação a
:
Aplicando a regra do quociente:
Então,
Passo 8
Agora que temos todas as derivadas segundas, vamos substituir na segunda equação diferencial:
Simplificando:
Então, a segunda equação também é satisfeita!
Resposta
Sim, a função
satisfaz ambas as equações diferenciais dadas.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas parciais de segunda ordem:
(a)
(a)
Encontre o volume do sólido delimitado por
e
. Faça o esboço do sólido e monte uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.
A função dada é diferenciável em
? Justifique:
(a)
(a)