Verifique que se a função é uma solução das equações diferenciais
e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a função satisfaz duas equações diferenciais parciais. Isso envolve cálculo de derivadas parciais, que é um tema de cálculo multivariável. Vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas de em relação a e e então substituir nessas equações para ver se tudo confere.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . Lembre-se que uma derivada parcial é como a derivada normal, mas a gente considera uma variável de cada vez, mantendo a outra constante.
Começando com :
Sabemos que onde . A derivada de em relação a é .
Calculando :
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular de maneira similar.
Calculando :
Então,

Passo 4

Agora que temos e , vamos somá-las para verificar a primeira equação diferencial:
Então, a primeira equação é satisfeita!

Passo 5

Agora, vamos para a segunda equação diferencial envolvendo as derivadas segundas:
Primeiro, precisamos calcular as derivadas segundas:
Vamos começar com :
Já temos . Vamos derivar isso em relação a :
Aplicando a regra do quociente:
Então,

Passo 6

Agora, vamos calcular . De forma semelhante:
Primeiro, temos . Derivando em relação a :
Aplicando a regra do quociente:
Então,

Passo 7

Agora, vamos calcular . Primeiro, derivamos em relação a :
Aplicando a regra do quociente:
Então,

Passo 8

Agora que temos todas as derivadas segundas, vamos substituir na segunda equação diferencial:
Simplificando:
Então, a segunda equação também é satisfeita!

Resposta

Sim, a função satisfaz ambas as equações diferenciais dadas.

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(a)
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(a)