Suponha que, para a série sum an, tenhamos lim n infty|an / an+1|=2. Quanto vale lim n infty|an+1 / an| ? A série converge?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos dizendo. Temos uma série infinita sum an e sabemos que o limite quando n tende ao infinito de | anan+1 | é igual a 2. Nosso objetivo é encontrar o valor do limite limn infty | an+1an | e determinar se a série converge.

Passo 2

Primeiro, observamos que limn infty | anan+1 | = 2. Queremos encontrar o limite inverso, ou seja, limn infty | an+1an |. Sabemos que se L = limn infty | anan+1 |, então limn infty | an+1an | = 1L. Portanto, temos:
limn infty | an+1an | = 12

Passo 3

Agora, para determinar se a série sum an converge, podemos aplicar o Teste da Razão. Este teste nos diz que se:
L = limn infty | an+1an |
  • Se L < 1, a série converge absolutamente.
  • Se L > 1 ou L é infinito, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.
Nesse caso, encontramos que L = 12 < 1, portanto, pela regra do Teste da Razão, a série converge.

Resposta

limn infty | an+1an | = 12. A série converge.

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