Suponha que, para a série , tenhamos . Quanto vale ? A série converge?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos dizendo. Temos uma série infinita e sabemos que o limite quando tende ao infinito de é igual a 2. Nosso objetivo é encontrar o valor do limite e determinar se a série converge.

Passo 2

Primeiro, observamos que . Queremos encontrar o limite inverso, ou seja, . Sabemos que se , então . Portanto, temos:

Passo 3

Agora, para determinar se a série converge, podemos aplicar o Teste da Razão. Este teste nos diz que se:
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se ou é infinito, a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Nesse caso, encontramos que , portanto, pela regra do Teste da Razão, a série converge.

Resposta

. A série converge.

Exercícios relacionados

Encontre o volume do sólido delimitado por e .
Seja .
(b) quantas curvas de nível passam pelo ponto ? Justifique.
Calcule as derivadas parciais de segunda ordem:
(a)
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe: . Determine o maior conjunto onde cada uma das funções acima é contínua.