Suponha que, para a série , tenhamos . Quanto vale ? A série converge?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos dizendo. Temos uma série infinita e sabemos que o limite quando tende ao infinito de é igual a 2. Nosso objetivo é encontrar o valor do limite limn infty | an+1an | e determinar se a série converge.
Passo 2
Primeiro, observamos que limn infty | anan+1 | = 2. Queremos encontrar o limite inverso, ou seja, limn infty | an+1an |. Sabemos que se L = limn infty | anan+1 |, então limn infty | an+1an | = 1L. Portanto, temos:
limn infty | an+1an | = 12
Passo 3
Agora, para determinar se a série sum an converge, podemos aplicar o Teste da Razão. Este teste nos diz que se:
L = limn infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge absolutamente.
Se L > 1 ou L é infinito, a série diverge.
Se L = 1, o teste é inconclusivo.
Nesse caso, encontramos que L = 12 < 1, portanto, pela regra do Teste da Razão, a série converge.