Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe: . Determine o maior conjunto onde cada uma das funções acima é contínua.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o limite da função
Além disso, precisamos determinar o maior conjunto onde essa função é contínua. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de limites em várias variáveis e propriedades de continuidade de funções multivariadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão do limite. Observe que tanto no numerador quanto no denominador temos termos que podem ser fatorados. Vamos fatorar no numerador e no denominador:
Podemos simplificar no numerador com um dos do denominador:

Passo 3

Agora, vamos fatorar . Sabemos que:
Substituindo na expressão anterior:
Podemos cancelar tanto no numerador quanto no denominador, desde que :

Passo 4

Agora, avaliamos o limite quando :

Passo 5

Para determinar o maior conjunto onde a função é contínua, analisamos onde a função está definida. A função original
está definida quando o denominador não é zero, ou seja:
Portanto, a função é contínua em todo o espaço , exceto nos pontos onde ou .

Resposta

O limite existe e é igual a . A função é contínua em todo exceto nos pontos onde ou .

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(a)
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e
Encontre o volume do sólido delimitado por e . Faça o esboço do sólido e monte uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.