Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
. Determine o maior conjunto onde cada uma das funções acima é contínua.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o limite da função
Além disso, precisamos determinar o maior conjunto onde essa função é contínua. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de limites em várias variáveis e propriedades de continuidade de funções multivariadas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão do limite. Observe que tanto no numerador quanto no denominador temos termos que podem ser fatorados. Vamos fatorar
no numerador e
no denominador:
Podemos simplificar
no numerador com um dos
do denominador:
Passo 3
Agora, vamos fatorar
. Sabemos que:
Substituindo na expressão anterior:
Podemos cancelar
tanto no numerador quanto no denominador, desde que
:
Passo 4
Agora, avaliamos o limite quando
:
Passo 5
Para determinar o maior conjunto onde a função é contínua, analisamos onde a função está definida. A função original
está definida quando o denominador não é zero, ou seja:
Portanto, a função é contínua em todo o espaço
, exceto nos pontos onde
ou
.
Resposta
O limite existe e é igual a
. A função é contínua em todo
exceto nos pontos onde
ou
.
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Calcule as derivadas parciais de segunda ordem:
(a)
(a)
Suponha que, para a série
, tenhamos
. Quanto vale
? A série converge?
e
Encontre o volume do sólido delimitado por
e
. Faça o esboço do sólido e monte uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.