(2,0) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe: lim (x, y, z) ( pm x0, pm x0, z0) x^8 z-y^8 zx^4 z^2-y^4 z^2, com z0 neq 0. Determine o maior conjunto onde cada uma das funções acima é contínua.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o limite da função
lim (x, y, z) ( pm x0, pm x0, z0) x^8 z - y^8 zx^4 z^2 - y^4 z^2, com z0 neq 0
Além disso, precisamos determinar o maior conjunto onde essa função é contínua. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de limites em várias variáveis e propriedades de continuidade de funções multivariadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão do limite. Observe que tanto no numerador quanto no denominador temos termos que podem ser fatorados. Vamos fatorar z no numerador e z^2 no denominador:
x^8 z - y^8 zx^4 z^2 - y^4 z^2 = z(x^8 - y^8)z^2(x^4 - y^4)
Podemos simplificar z no numerador com um dos z do denominador:
z(x^8 - y^8)z^2(x^4 - y^4) = x^8 - y^8z(x^4 - y^4)

Passo 3

Agora, vamos fatorar x^8 - y^8. Sabemos que:
x^8 - y^8 = (x^4)^2 - (y^4)^2 = (x^4 - y^4)(x^4 + y^4)
Substituindo na expressão anterior:
(x^4 - y^4)(x^4 + y^4)z(x^4 - y^4)
Podemos cancelar (x^4 - y^4) tanto no numerador quanto no denominador, desde que x^4 neq y^4:
x^4 + y^4z

Passo 4

Agora, avaliamos o limite quando (x, y, z) (pm x0, pm x0, z0):
lim (x, y, z) (pm x0, pm x0, z0) x^4 + y^4z = x0^4 + x0^4z0 = 2x0^4z0

Passo 5

Para determinar o maior conjunto onde a função é contínua, analisamos onde a função está definida. A função original
x^8 z - y^8 zx^4 z^2 - y^4 z^2
está definida quando o denominador não é zero, ou seja:
x^4 z^2 - y^4 z^2 neq 0 Rightarrow z neq 0 e x^4 neq y^4
Portanto, a função é contínua em todo o espaço R^3, exceto nos pontos onde z = 0 ou x^4 = y^4.

Resposta

O limite existe e é igual a dfrac2x0^4z0. A função é contínua em todo R^3 exceto nos pontos onde z = 0 ou x^4 = y^4.

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