Determine a diferencial total de primeira ordem de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a diferencial total de primeira ordem da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, mais especificamente o cálculo de diferenciais parciais. Vamos precisar derivar a função
em relação a
e
para montar a diferencial total.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a diferencial total. Se temos uma função
, a diferencial total
é dada por:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular
. A função é
.
- Derivando
em relação a : tratamos como uma constante, então a derivada é . - Derivando
em relação a : a derivada de é . Aqui, , então . Portanto, a derivada é .
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular
.
- Derivando
em relação a : tratamos como uma constante, então a derivada é . - Derivando
em relação a : a derivada de é . Aqui, , então . Portanto, a derivada é .
Então,
Passo 5
Com as derivadas parciais encontradas, podemos montar a diferencial total
:
Resposta
A diferencial total de primeira ordem é:
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em que o plano tangente é paralelo ao plano cartesiano x0y.
Calcule as derivadas parciais de segunda ordem, de:
no ponto
Determine a diferencial total de primeira ordem de: