Calcule as derivadas parciais de segunda ordem, de:
no ponto
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função
no ponto
. Isso envolve entender derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de mais de uma variável e queremos ver como a função muda em relação a cada variável individualmente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
. Quando derivamos em relação a
, tratamos
como uma constante.
Aqui usamos a derivada de
, que é
, mantendo
constante.
Passo 3
Agora, vamos derivar novamente
em relação a
para obter a segunda derivada parcial em relação a
:
A derivada de
é
.
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, derivamos
em relação a
, que resulta em
, mantendo
constante.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
para obter a segunda derivada parcial em relação a
:
Derivando
em relação a
, obtemos
.
Passo 6
Também podemos calcular as derivadas mistas, ou seja, derivar
em relação a
e
em relação a
:
Perceba que
, o que é esperado pelas regras de derivadas mistas.
Resposta
Calculando no ponto
:
Portanto, as derivadas parciais de segunda ordem no ponto
são:
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Determine a diferencial total de primeira ordem de:
Calcule as derivadas parciais de segunda ordem, de:
Determine a diferencial total de primeira ordem de:
Dada a função
, determine
.