Calcule as derivadas parciais de segunda ordem, de: no ponto

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função no ponto . Isso envolve entender derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de mais de uma variável e queremos ver como a função muda em relação a cada variável individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a . Quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante.
Aqui usamos a derivada de , que é , mantendo constante.

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente em relação a para obter a segunda derivada parcial em relação a :
A derivada de é .

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a :
Aqui, derivamos em relação a , que resulta em , mantendo constante.

Passo 5

Agora, derivamos em relação a para obter a segunda derivada parcial em relação a :
Derivando em relação a , obtemos .

Passo 6

Também podemos calcular as derivadas mistas, ou seja, derivar em relação a e em relação a :
Perceba que , o que é esperado pelas regras de derivadas mistas.

Resposta

Calculando no ponto :
Portanto, as derivadas parciais de segunda ordem no ponto são:

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Dada a função , determine .