Dada a função z=y^2 e^x^2, determine partial^4 zpartial x partial y^2 partial x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função matemática específica: . A questão pede para a gente encontrar a derivada parcial de quarta ordem dessa função, ou seja, . Isso está ligado ao estudo de derivadas parciais em cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa derivada parcial de quarta ordem. Basicamente, estamos pedindo para derivar a função em relação a , depois duas vezes em relação a , e finalmente de novo em relação a . A ordem em que fazemos isso importa quando lidamos com derivadas parciais.

Passo 3

Começamos encontrando a primeira derivada parcial de partial zpartial x = partialpartial x ( y^2 e^x^2 ) em relação a partial zpartial x = y^2 cdot 2x e^x^2 = 2x y^2 e^x^2 :
Como é constante em relação a , aplicamos a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos derivar essa expressão duas vezes em relação a partialpartial y ( 2x y^2 e^x^2 ) = 2x cdot 2y e^x^2 = 4x y e^x^2 . Primeiro, a primeira derivada em relação a partial^2partial y^2 ( 2x y^2 e^x^2 ) = partialpartial y ( 4x y e^x^2 ) = 4x e^x^2 :
E agora, a segunda derivada em relação a :

Passo 5

Por fim, vamos derivar a expressão resultante em relação a partialpartial x ( 4x e^x^2 ) :
partialpartial x ( 4x e^x^2 ) = 4 e^x^2 + 4x cdot 2x e^x^2 = 4 e^x^2 + 8x^2 e^x^2
Aplicando a regra do produto:
4 e^x^2 (1 + 2x^2)
Podemos fatorar :

Resposta

A derivada parcial de quarta ordem é:
partial^4 zpartial x partial y^2 partial x = 4 e^x^2 (1 + 2x^2)

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