Dada a função , determine .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função matemática específica: . A questão pede para a gente encontrar a derivada parcial de quarta ordem dessa função, ou seja, . Isso está ligado ao estudo de derivadas parciais em cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa derivada parcial de quarta ordem. Basicamente, estamos pedindo para derivar a função em relação a , depois duas vezes em relação a , e finalmente de novo em relação a . A ordem em que fazemos isso importa quando lidamos com derivadas parciais.

Passo 3

Começamos encontrando a primeira derivada parcial de em relação a :
Como é constante em relação a , aplicamos a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos derivar essa expressão duas vezes em relação a . Primeiro, a primeira derivada em relação a :
E agora, a segunda derivada em relação a :

Passo 5

Por fim, vamos derivar a expressão resultante em relação a :
Aplicando a regra do produto:
Podemos fatorar :

Resposta

A derivada parcial de quarta ordem é:

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