Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem a função e precisamos encontrar as derivadas parciais de segunda e terceira ordem dela. Isso faz parte do estudo de derivadas parciais na matéria de Cálculo. Para resolver, vamos precisar usar a regra do quociente e conhecer bem como calcular derivadas parciais passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma derivada parcial mede como a função muda quando a gente varia uma variável, mantendo a outra fixa. Aqui, temos duas variáveis: e . Nossa função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente para derivar. A regra do quociente diz que se , então .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a . Definimos e . Calculando as derivadas parciais de e em relação a :
Agora aplicamos a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial em relação a , ou seja, . Isso significa derivar novamente em relação a . Vamos chamar a primeira derivada de , onde e .
Aplicando a regra do quociente:
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula:
Esse resultado pode ser simplificado, mas fica bem complexo, então deixamos a expressão assim.

Passo 5

Agora, vamos calcular a terceira derivada parcial em relação a , isto é, . Isso envolve derivar a segunda derivada em relação a . A expressão já está bem complicada, então este passo envolve aplicar novamente a regra do quociente e será bastante trabalhoso, mas o processo é o mesmo: derivar cada parte cuidadosamente, aplicando as regras de derivação e simplificando onde possível.

Resposta

A derivada parcial de segunda ordem de em relação a é:
A derivada parcial de terceira ordem seguiria o mesmo método, mas sua expressão fica bastante extensa.

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Seja . Calcule:
Construa o gráfico das seguintes funções exponenciais:
(f)
Seja . Calcule:
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções: