Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem a função
e precisamos encontrar as derivadas parciais de segunda e terceira ordem dela. Isso faz parte do estudo de derivadas parciais na matéria de Cálculo. Para resolver, vamos precisar usar a regra do quociente e conhecer bem como calcular derivadas parciais passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma derivada parcial mede como a função muda quando a gente varia uma variável, mantendo a outra fixa. Aqui, temos duas variáveis:
e
. Nossa função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente para derivar. A regra do quociente diz que se
, então
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a
. Definimos
e
. Calculando as derivadas parciais de
e
em relação a
:
Agora aplicamos a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Isso significa derivar novamente
em relação a
. Vamos chamar a primeira derivada de
, onde
e
.
Aplicando a regra do quociente:
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula:
Esse resultado pode ser simplificado, mas fica bem complexo, então deixamos a expressão assim.
Passo 5
Agora, vamos calcular a terceira derivada parcial em relação a
, isto é,
. Isso envolve derivar a segunda derivada em relação a
. A expressão já está bem complicada, então este passo envolve aplicar novamente a regra do quociente e será bastante trabalhoso, mas o processo é o mesmo: derivar cada parte cuidadosamente, aplicando as regras de derivação e simplificando onde possível.
Resposta
A derivada parcial de segunda ordem de
em relação a
é:
A derivada parcial de terceira ordem seguiria o mesmo método, mas sua expressão fica bastante extensa.
Exercícios relacionados
Seja
. Calcule:
Construa o gráfico das seguintes funções exponenciais:
(f)
(f)
Seja
. Calcule:
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções: