Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
$(a)
$(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me perguntou para calcular as derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função
. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar funções de duas variáveis em relação a cada uma delas, tratando a outra como constante.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
Derivando termo a termo:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Derivando termo a termo:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Isso significa que vamos derivar novamente as derivadas parciais de primeira ordem.
Primeiro, vamos calcular as segundas derivadas em relação a
:
Em seguida, as segundas derivadas mistas:
E:
Por fim, a segunda derivada em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos para as derivadas parciais de terceira ordem. Isso significa que vamos derivar as derivadas de segunda ordem.
Vamos começar com a derivada de terceira ordem em relação a
três vezes:
Em seguida, as derivadas mistas de terceira ordem:
Finalmente, a terceira derivada em relação a
três vezes:
Resposta
As derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função
são:
Derivadas de Segunda Ordem:
Derivadas de Terceira Ordem:
Exercícios relacionados
Seja
. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
$(a)
$(a)
Calcule a Derivadas parciais de cada função: $©
Calcule o gradiente das seguintes funções:
$(d)
$(d)
Calcule a Derivadas parciais de cada função: $(d)