Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
$(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me perguntou para calcular as derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função . Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar funções de duas variáveis em relação a cada uma delas, tratando a outra como constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função .
A derivada parcial de em relação a é:
Derivando termo a termo:
A derivada parcial de em relação a é:
Derivando termo a termo:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Isso significa que vamos derivar novamente as derivadas parciais de primeira ordem.
Primeiro, vamos calcular as segundas derivadas em relação a :
Em seguida, as segundas derivadas mistas:
E:
Por fim, a segunda derivada em relação a :

Passo 4

Agora, vamos para as derivadas parciais de terceira ordem. Isso significa que vamos derivar as derivadas de segunda ordem.
Vamos começar com a derivada de terceira ordem em relação a três vezes:
Em seguida, as derivadas mistas de terceira ordem:
Finalmente, a terceira derivada em relação a três vezes:

Resposta

As derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função são:
Derivadas de Segunda Ordem:
Derivadas de Terceira Ordem:

Exercícios relacionados

Seja . Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
$(a)
Calcule a Derivadas parciais de cada função: $©
Calcule o gradiente das seguintes funções:
$(d)
Calcule a Derivadas parciais de cada função: $(d)