Calcule o gradiente das seguintes funções:
$(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o gradiente da função . Isso está dentro do estudo de cálculo multivariável, onde trabalhamos com funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais dessa função em relação a cada variável. Ou seja:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
A função não depende de , então sua derivada em relação a é zero. Agora, para , usamos a regra da cadeia:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Para :
E para :
Então:

Passo 5

Por último, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
A função não depende de , então sua derivada em relação a é zero. Para :
Então:

Resposta

O gradiente da função é dado por:

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Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
$(a)
Seja . Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
$(a)
Calcule a Derivadas parciais de cada função: $(d)
Seja . Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
$(b)