Calcule o gradiente das seguintes funções:
$(d)
$(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o gradiente da função . Isso está dentro do estudo de cálculo multivariável, onde trabalhamos com funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar
é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais dessa função em relação a cada variável. Ou seja:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
A função não depende de
, então sua derivada em relação a
é zero. Agora, para
, usamos a regra da cadeia:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Para
:
E para :
Então:
Passo 5
Por último, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
A função
não depende de
, então sua derivada em relação a
é zero. Para :
Então:
Resposta
O gradiente da função é dado por:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
$(a)
$(a)
Seja
. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
$(a)
$(a)
Calcule a Derivadas parciais de cada função: $(d)
Seja
. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
$(b)
$(b)