Seja . Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
$(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que envolve derivadas parciais de uma função em relação às variáveis , e . Nosso objetivo é verificar se a função satisfaz essa equação. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a cada uma dessas variáveis e somá-las para ver se dá zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é notada como . Lembre-se que, ao fazer derivadas parciais, tratamos as outras variáveis como constantes.
A função é:
Derivando termo por termo:
  • (a derivada de é vezes a derivada de , que aqui é 1).
  • (pois não há aqui).
  • (usando a regra da cadeia).
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Derivando termo por termo:
  • (a derivada de em relação a é -1).
  • (derivada de é vezes a derivada de , que aqui é 1).
  • (não há aqui).
Então:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Derivando termo por termo:
  • (não há aqui).
  • (derivada de é vezes a derivada de , que aqui é -1, então o resultado é ).
  • (usando a regra da cadeia).
Então:

Passo 5

Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos somá-las conforme a equação dada:
Substituindo os valores que encontramos:
Vamos simplificar:
  • e se cancelam.
  • e também se cancelam.
  • e também se cancelam.
Portanto:

Resposta

Sim, a função satisfaz a equação dada.

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$(a)
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$(d)