Seja
. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
$(a)
$(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que envolve derivadas parciais de uma função
em relação às variáveis
,
e
. Nosso objetivo é verificar se a função
satisfaz essa equação. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a cada uma dessas variáveis e somá-las para ver se dá zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é notada como
. Lembre-se que, ao fazer derivadas parciais, tratamos as outras variáveis como constantes.
A função
é:
Derivando termo por termo:
-
(a derivada de é vezes a derivada de , que aqui é 1). -
(pois não há aqui). -
(usando a regra da cadeia).
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Derivando termo por termo:
-
(a derivada de em relação a é -1). -
(derivada de é vezes a derivada de , que aqui é 1). -
(não há aqui).
Então:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Derivando termo por termo:
-
(não há aqui). -
(derivada de é vezes a derivada de , que aqui é -1, então o resultado é ). -
(usando a regra da cadeia).
Então:
Passo 5
Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos somá-las conforme a equação dada:
Substituindo os valores que encontramos:
Vamos simplificar:
-
e se cancelam. -
e também se cancelam. -
e também se cancelam.
Portanto:
Resposta
Sim, a função
satisfaz a equação dada.
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$(a)
$(a)
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$(d)
$(d)