Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular as derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função
. Isso está ligado ao estudo de derivadas parciais em Cálculo Diferencial. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e conhecer as derivadas de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e
.
Para
, a derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Isso significa derivar novamente as derivadas de primeira ordem.
Primeira, a derivada de
em relação a
(denotada
):
Em seguida, a derivada de
em relação a
(denotada
):
E a derivada de
em relação a
(denotada
):
Passo 4
Agora, vamos para as derivadas parciais de terceira ordem. Precisamos derivar as derivadas de segunda ordem novamente.
Vamos calcular
:
Depois,
:
E assim por diante para as demais derivadas de terceira ordem
e
, aplicando a mesma lógica de derivação.
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são:
E as derivadas parciais de terceira ordem são:
Essas expressões representam as derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função dada.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
$(b)
$(b)
Seja
. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
$(d)
$(d)
Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
$(e)
$(e)
Calcule o gradiente das seguintes funções:
$(b)
$(b)