Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular as derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função . Isso está ligado ao estudo de derivadas parciais em Cálculo Diferencial. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e conhecer as derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a e .
Para , a derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Isso significa derivar novamente as derivadas de primeira ordem.
Primeira, a derivada de em relação a (denotada ):
Em seguida, a derivada de em relação a (denotada ):
E a derivada de em relação a (denotada ):

Passo 4

Agora, vamos para as derivadas parciais de terceira ordem. Precisamos derivar as derivadas de segunda ordem novamente.
Vamos calcular :
Depois, :
E assim por diante para as demais derivadas de terceira ordem e , aplicando a mesma lógica de derivação.

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
E as derivadas parciais de terceira ordem são:
Essas expressões representam as derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função dada.

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
$(b)
Seja . Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
$(d)
Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
$(e)
Calcule o gradiente das seguintes funções:
$(b)