Seja partial wpartial x+partial wpartial y+partial wpartial z=0. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
$(d) (d)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para verificar se a função partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z = 0 satisfaz a equação diferencial parcial:
Aqui, estamos lidando com derivadas parciais e iremos utilizar conhecimentos de cálculo multivariável para verificar se a função satisfaz a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de u = cos (x^2+y^2+z^2) em relação a partial upartial x = -sin (x^2+y^2+z^2) cdot partialpartial x(x^2+y^2+z^2) = -sin (x^2+y^2+z^2) cdot 2x , partial upartial x = -2x sin (x^2+y^2+z^2) e partial upartial y = -2y sin (x^2+y^2+z^2) .
A função é:
partial upartial z = -2z sin (x^2+y^2+z^2)
Para encontrar , aplicamos a regra da cadeia:
Portanto:
De forma semelhante, calculamos as derivadas parciais em relação a e :

Passo 3

Agora, somamos as três derivadas parciais:
partial upartial x + partial upartial y + partial upartial z = -2x sin (x^2+y^2+z^2) - 2y sin (x^2+y^2+z^2) - 2z sin (x^2+y^2+z^2)
Podemos fatorar o termo comum:
-2 sin (x^2+y^2+z^2) (x + y + z)

Passo 4

Para que a equação diferencial seja satisfeita, a soma das derivadas parciais deve ser igual a zero:
-2 sin (x^2+y^2+z^2) (x + y + z) = 0
Há duas possibilidades para que isso ocorra:
No entanto, para a igualdade ser válida para todos os valores de , e , ambas as condições não são satisfeitas simultaneamente de forma geral.

Resposta

A função não satisfaz à equação diferencial dada.

Exercícios relacionados