Seja . Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
$(d)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para verificar se a função satisfaz a equação diferencial parcial:
Aqui, estamos lidando com derivadas parciais e iremos utilizar conhecimentos de cálculo multivariável para verificar se a função satisfaz a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .
A função é:
Para encontrar , aplicamos a regra da cadeia:
Portanto:
De forma semelhante, calculamos as derivadas parciais em relação a e :

Passo 3

Agora, somamos as três derivadas parciais:
Podemos fatorar o termo comum:

Passo 4

Para que a equação diferencial seja satisfeita, a soma das derivadas parciais deve ser igual a zero:
Há duas possibilidades para que isso ocorra:
No entanto, para a igualdade ser válida para todos os valores de , e , ambas as condições não são satisfeitas simultaneamente de forma geral.

Resposta

A função não satisfaz à equação diferencial dada.

Exercícios relacionados

Desenhe as superfícies abaixo:
a.
Seja . Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
$(b)
Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
$(b)
Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de: