Seja
. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
$(d)
$(d)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para verificar se a função
satisfaz a equação diferencial parcial:
Aqui, estamos lidando com derivadas parciais e iremos utilizar conhecimentos de cálculo multivariável para verificar se a função
satisfaz a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
A função é:
Para encontrar
, aplicamos a regra da cadeia:
Portanto:
De forma semelhante, calculamos as derivadas parciais em relação a
e
:
Passo 3
Agora, somamos as três derivadas parciais:
Podemos fatorar o termo comum:
Passo 4
Para que a equação diferencial seja satisfeita, a soma das derivadas parciais deve ser igual a zero:
Há duas possibilidades para que isso ocorra:
No entanto, para a igualdade ser válida para todos os valores de
,
e
, ambas as condições não são satisfeitas simultaneamente de forma geral.
Resposta
A função
não satisfaz à equação diferencial dada.
Exercícios relacionados
Desenhe as superfícies abaixo:
a.
a.
Seja
. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
$(b)
$(b)
Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
$(b)
$(b)
Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
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