Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
$(d)
$(d)
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem a função
. Nosso objetivo aqui é calcular as derivadas parciais de segunda e terceira ordem dessa função. Para isso, vamos precisar entender como trabalhar com derivadas parciais e como aplicar a regra da cadeia quando temos funções compostas, como é o caso aqui com a função arco-tangente (
).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as primeiras derivadas parciais de
em relação a
e
. Isso é necessário porque as derivadas de ordem superior dependem das primeiras derivadas.
A derivada da função
em relação a
é
. Vamos usar isso aplicando a regra da cadeia.
Passo 3
Calculando a primeira derivada parcial de
em relação a
:
Agora, derivamos o que está dentro da função:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
:
Derivando o que está dentro:
Então, temos:
Passo 5
Com as primeiras derivadas parciais em mãos, vamos agora para as derivadas de segunda ordem. Começaremos calculando
.
Para isso, derivamos novamente
em relação a
:
Usaremos a regra do quociente:
Onde
e
.
Calculando as derivadas:
Substituindo na fórmula:
Simplificando:
Passo 6
Vamos agora calcular
.
Derivamos
em relação a
:
Aplicando a regra do quociente novamente, onde
e
:
Substituindo na fórmula:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos para as derivadas de terceira ordem. Vamos começar com
.
Isso envolve derivar
em relação a
. O processo será semelhante ao anterior, mas bastante trabalhoso devido à complexidade das expressões.
Por exemplo:
Esse processo envolve aplicar a regra do quociente e a regra da cadeia novamente, resultando em uma expressão bastante extensa. De maneira similar, calcularíamos as demais derivadas de terceira ordem:
Cada uma delas seguiria os mesmos passos de derivação aplicados anteriormente, aumentando a complexidade das expressões.
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são:
As derivadas de terceira ordem seguem um processo similar de diferenciação, resultando em expressões ainda mais complexas.