Determine a derivada direcional da função dada na direção v:
$(b) b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente gradiente e vetor unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Então, temos:
Então, o gradiente é:

Passo 3

Agora, vamos normalizar o vetor para obter o vetor unitário na direção de . A normalização é feita dividindo o vetor pelo seu módulo (comprimento):

Passo 4

A derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente da função e o vetor unitário na direção desejada. Então, vamos calcular:

Resposta

A derivada direcional da função na direção de é:

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