Determine a derivada direcional da função dada na direção v:
$(b)
.
$(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente gradiente e vetor unitário.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Então, temos:
Então, o gradiente é:
Passo 3
Agora, vamos normalizar o vetor
para obter o vetor unitário na direção de
. A normalização é feita dividindo o vetor pelo seu módulo (comprimento):
Passo 4
A derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente da função e o vetor unitário na direção desejada. Então, vamos calcular:
Resposta
A derivada direcional da função
na direção de
é: