Calcule o gradiente das seguintes funções:
$(a)

Passo 1

Então, a gente tem a função e precisamos calcular o gradiente dela. O gradiente é basicamente um vetor que mostra a direção e a taxa de variação mais rápida da função. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais em relação a cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é o gradiente. Para uma função de duas variáveis como essa, o gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e . Ou seja, vamos calcular e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Isso significa que tratamos como uma constante e derivamos em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Aqui, tratamos como constante e derivamos em relação a :

Resposta

O gradiente da função é o vetor:

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Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
$(d)
Calcule o gradiente das seguintes funções:
Determine a derivada direcional da função dada na direção v:
$(b) .
Usando a regra da cadeia para e , calcule e :
$(b)