Seja Dn o grupo diedral de ordem 2n, onde n ≥ 3. Assinale a alternativa incorreta.
(b) Se n é par, então Z/2 x Z/2 é isomorfo a um subgrupo de Dn.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o grupo diedral de ordem , onde . A alternativa (b) afirma que se é par, então o grupo é isomorfo a um subgrupo de . Nosso objetivo é verificar se essa afirmação é correta ou incorreta, usando conceitos de teoria de grupos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar algumas definições importantes:
  • Grupo Diedral : É o grupo das simetrias de um polígono regular com lados. Ele possui elementos: rotações e reflexões.
  • Grupo : É o produto direto de dois grupos ciclícos de ordem 2. Ele tem 4 elementos e é abeliano, ou seja, a operação é comutativa.
Um isomorfismo entre grupos é uma correspondência bijetiva que preserva a estrutura do grupo. Se dois grupos são isomorfos, eles têm a mesma estrutura algébrica.

Passo 3

Agora, vamos analisar se pode ser um subgrupo de quando é par.
Primeiro, observamos que tem 4 elementos, todos de ordem 2. Em , os elementos de ordem 2 são as reflexões e, se é par, também existe uma rotação de 180 graus que tem ordem 2.
Para que seja isomorfo a um subgrupo de , precisamos que haja quatro elementos em que se comportem como os de , ou seja, que seja abeliano e que a operação entre eles seja comutativa.
No entanto, em , a composição de duas reflexões geralmente não é comutativa, especialmente quando consideramos a rotação resultante. Isso significa que os subgrupos de que têm todos os elementos de ordem 2 são cíclicos de ordem 2, não correspondendo à estrutura de , que é não cíclico.

Passo 4

Portanto, mesmo quando é par, não contém um subgrupo que seja isomorfo a , pois a estrutura abeliana necessária não é satisfeita.

Resposta

A alternativa (b) é incorreta.

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