Seja
o grupo diedral de ordem
, onde
. Assinale a alternativa incorreta.
(b) Se
é par, então
é isomorfo a um subgrupo de
.
(b) Se
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o grupo diedral
de ordem
, onde
. A alternativa (b) afirma que se
é par, então o grupo
é isomorfo a um subgrupo de
. Nosso objetivo é verificar se essa afirmação é correta ou incorreta, usando conceitos de teoria de grupos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar algumas definições importantes:
-
Grupo Diedral
: É o grupo das simetrias de um polígono regular com lados. Ele possui elementos: rotações e reflexões. -
Grupo
: É o produto direto de dois grupos ciclícos de ordem 2. Ele tem 4 elementos e é abeliano, ou seja, a operação é comutativa.
Um isomorfismo entre grupos é uma correspondência bijetiva que preserva a estrutura do grupo. Se dois grupos são isomorfos, eles têm a mesma estrutura algébrica.
Passo 3
Agora, vamos analisar se
pode ser um subgrupo de
quando
é par.
Primeiro, observamos que
tem 4 elementos, todos de ordem 2. Em
, os elementos de ordem 2 são as reflexões e, se
é par, também existe uma rotação de 180 graus que tem ordem 2.
Para que
seja isomorfo a um subgrupo de
, precisamos que haja quatro elementos em
que se comportem como os de
, ou seja, que seja abeliano e que a operação entre eles seja comutativa.
No entanto, em
, a composição de duas reflexões geralmente não é comutativa, especialmente quando consideramos a rotação resultante. Isso significa que os subgrupos de
que têm todos os elementos de ordem 2 são cíclicos de ordem 2, não correspondendo à estrutura de
, que é não cíclico.
Passo 4
Portanto, mesmo quando
é par,
não contém um subgrupo que seja isomorfo a
, pois a estrutura abeliana necessária não é satisfeita.
Resposta
A alternativa (b) é incorreta.