Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
z = cos(x^3 + x y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos calcular as derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função . Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas parciais e regras de derivação como a regra da cadeia. Vamos precisar aplicar essas regras várias vezes para chegar às derivadas de ordens mais altas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a . Para isso, usamos a regra da cadeia.
Temos:
onde .
A derivada de em relação a é , e agora derivamos em relação a :
Aplicando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, . Diferenciamos a primeira derivada com relação a .
Temos:
Aplicamos a regra do produto:
Sabendo que e :

Passo 4

Vamos seguir para a terceira derivada parcial de em relação a , ou seja, . Diferenciamos a segunda derivada com relação a .
Temos:
Diferenciando cada termo:
  1. Para , aplicamos a regra do produto e da cadeia:
  1. Para , aplicamos a regra do produto:
Juntando tudo:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função são:

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