Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos calcular as derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função
. Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas parciais e regras de derivação como a regra da cadeia. Vamos precisar aplicar essas regras várias vezes para chegar às derivadas de ordens mais altas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
. Para isso, usamos a regra da cadeia.
Temos:
onde
.
A derivada de
em relação a
é
, e agora derivamos
em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Diferenciamos a primeira derivada com relação a
.
Temos:
Aplicamos a regra do produto:
Sabendo que
e
:
Passo 4
Vamos seguir para a terceira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Diferenciamos a segunda derivada com relação a
.
Temos:
Diferenciando cada termo:
- Para
, aplicamos a regra do produto e da cadeia:
- Para
, aplicamos a regra do produto:
Juntando tudo:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função
são: