Uma sequência exata de espaços vetoriais Vi de dimensão finita
0 -> T0 -> V1 -> T7 -> V2 -> T2 -> V3 -> T3 -> V4 -> T4 -> 0
é uma sequência de transformações lineares Ti tais que ker(T_{i+1}) = im(T_{i}) para i = 0, 1, 2, 3 (denotamos por 0 o espaço vetorial nulo). Se na sequência exata acima dim Vi = di, então é sempre verdade que
(d) d4 = d1 + d2 + d3

Passo 1

Ok, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência exata de espaços vetoriais finitos e transformações lineares entre eles. A sequência é:
Nessa sequência, uma sequência exata significa que a imagem de cada transformação é igual ao núcleo da próxima. A pergunta quer saber se sempre será verdade que a dimensão de é igual à soma das dimensões de e , ou seja, se . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências exatas e como as dimensões se relacionam nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma sequência exata. Em álgebra linear, uma sequência exata de espaços vetoriais e transformações lineares significa que, para cada transformação , a imagem de é exatamente o núcleo de . Formalmente, isso é escrito como:
Isso implica que cada transformação “captura” exatamente o que a anterior “perde”.

Passo 3

Agora, vamos considerar as dimensões dos espaços vetoriais. Sabemos que para qualquer transformação linear , a seguinte relação, conhecida como teorema do núcleo e imagem, vale:
Aplicando isso na nossa sequência exata, temos:
Mas, como a sequência é exata, sabemos que . Portanto, podemos reescrever a equação como:

Passo 4

Vamos aplicar essa relação à nossa sequência:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :

Passo 5

Observando essas equações, podemos tentar somar algumas delas para ver se conseguimos relacionar com e .
Somando as três primeiras equações:
Simplificando, temos:
Enquanto a equação para é:

Passo 6

Comparando as duas expressões, vemos que inclui termos como e que não aparecem diretamente em . Isso indica que, em geral, não é simplesmente a soma de e .
Além disso, para que a igualdade fosse válida, precisaríamos que e compensassem os outros termos, o que não é garantido.

Resposta

Não, em geral não é igual à soma de e . A afirmação não é sempre verdadeira.

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