Seja partial w / partial x+partial w / partial y+partial w / partial z=0. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
w=arctg(x+y+z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que relaciona as derivadas parciais de uma função partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z = 0 em relação às variáveis , e . A equação é:
E a gente precisa verificar se a função satisfaz essa equação. Vamo usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular cada uma das derivadas parciais da função w = arctan(x + y + z) em relação a ddu arctan(u) = 11 + u^2 , partial wpartial x = 11 + u^2 cdot partial upartial x e partial wpartial y = 11 + u^2 cdot partial upartial y .
A função dada é:
partial wpartial z = 11 + u^2 cdot partial upartial z
Vamos chamar partial upartial x = 1, partial upartial y = 1, partial upartial z = 1 , então .
A derivada da arctangente é:
Agora, aplicando a regra da cadeia para as derivadas parciais:
Como , as derivadas de em relação a , e são todas iguais a 1:

Passo 3

Substituindo os valores das derivadas de partial wpartial x = 11 + u^2 cdot 1 = 11 + (x + y + z)^2 :
partial wpartial y = 11 + u^2 cdot 1 = 11 + (x + y + z)^2
partial wpartial z = 11 + u^2 cdot 1 = 11 + (x + y + z)^2

Passo 4

Agora, vamos somar essas derivadas conforme a equação dada:
partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z = 11 + (x + y + z)^2 + 11 + (x + y + z)^2 + 11 + (x + y + z)^2
Isso dá:
3 cdot 11 + (x + y + z)^2

Passo 5

Para que a função 3 cdot 11 + (x + y + z)^2 = 0 satisfaça a equação original, a soma das derivadas parciais deve ser igual a zero:
Mas o termo é sempre positivo, já que o denominador nunca é zero. Multiplicando por 3, o resultado também será positivo e nunca igual a zero.

Resposta

A função não satisfaz à equação , pois a soma das derivadas parciais resulta em um valor sempre positivo, diferente de zero.

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