Seja
. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que relaciona as derivadas parciais de uma função
em relação às variáveis
,
e
. A equação é:
E a gente precisa verificar se a função
satisfaz essa equação. Vamo usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular cada uma das derivadas parciais da função
em relação a
,
e
.
A função dada é:
Vamos chamar
, então
.
A derivada da arctangente é:
Agora, aplicando a regra da cadeia para as derivadas parciais:
Como
, as derivadas de
em relação a
,
e
são todas iguais a 1:
Passo 3
Substituindo os valores das derivadas de
:
Passo 4
Agora, vamos somar essas derivadas conforme a equação dada:
Isso dá:
Passo 5
Para que a função
satisfaça a equação original, a soma das derivadas parciais deve ser igual a zero:
Mas o termo
é sempre positivo, já que o denominador nunca é zero. Multiplicando por 3, o resultado também será positivo e nunca igual a zero.
Resposta
A função
não satisfaz à equação
, pois a soma das derivadas parciais resulta em um valor sempre positivo, diferente de zero.