Calcule as derivadas parciais
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais de
. Vamos utilizar o conteúdo de derivadas parciais, que são usadas para encontrar como uma função muda em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes. Para isso, vamos precisar das regras de derivação de funções exponenciais e da regra do logaritmo quando aplicável.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função dada é
. Para derivar isso em relação a
, podemos usar a propriedade de que
. Isso facilita a aplicação da regra da cadeia.
Então, reescrevemos
como:
Agora, aplicamos a derivada em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Usando novamente a expressão
, podemos aplicar a regra da potência para derivadas. A derivada de
em relação a
é:
Isso porque, ao derivar
em relação a
, tratamos
como uma constante e aplicamos a regra da derivada de uma função potência.
Resposta
As derivadas parciais de
são:
e
Exercícios relacionados
(a) (1 ponto) Dada a
, encontre seus pontos críticos em
e classifique-os em máximo relativo, mínimo relativo e sela.
Um corpo tem temperatura dada por:
(d) (0,5 ponto) Suponha que e
sejam funções diferenciáveis tais que:
pertence à
, para todo
e que
. Calcule
(d) (0,5 ponto) Suponha que
Se
representa a temperatura num ponto
numa certa região do plano, calcule a temperatura quando
e
.
Calcule aproximadamente