Calcule as derivadas parciais z = y^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais de . Vamos utilizar o conteúdo de derivadas parciais, que são usadas para encontrar como uma função muda em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes. Para isso, vamos precisar das regras de derivação de funções exponenciais e da regra do logaritmo quando aplicável.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função dada é . Para derivar isso em relação a , podemos usar a propriedade de que . Isso facilita a aplicação da regra da cadeia.
Então, reescrevemos como:
Agora, aplicamos a derivada em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Usando novamente a expressão , podemos aplicar a regra da potência para derivadas. A derivada de em relação a é:
Isso porque, ao derivar em relação a , tratamos como uma constante e aplicamos a regra da derivada de uma função potência.

Resposta

As derivadas parciais de são:
e

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