(a) (1 ponto) Dada a
, encontre seus pontos críticos em
e classifique-os em máximo relativo, mínimo relativo e sela.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa encontrar seus pontos críticos no plano
. Depois, vamos classificar cada ponto como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função se comporta em cada direção.
Calculando
(derivada parcial em relação a
):
Calculando
(derivada parcial em relação a
):
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos ocorrem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Vamos resolver o sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos simplificar as equações dividindo por 2:
Multiplicando a primeira equação por 2:
Subtraindo a segunda equação original multiplicada por 1:
Substituindo
na primeira equação simplificada:
Então,
.
Portanto, o ponto crítico é
.
Passo 5
Agora, vamos classificar esse ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Passo 6
Calculamos o discriminante
para usar no teste da segunda derivada:
Passo 7
Com o valor de
:
- Se
e , então temos um mínimo relativo. - Se
e , então temos um máximo relativo. - Se
, então o ponto é de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
e
, então o ponto crítico é um mínimo relativo.
Resposta
A função
tem um ponto crítico em
, que é um mínimo relativo.
Exercícios relacionados
Um corpo tem temperatura dada por:
(d) (0,5 ponto) Suponha que e
sejam funções diferenciáveis tais que:
pertence à
, para todo
e que
. Calcule
(d) (0,5 ponto) Suponha que
Seja
e seja
uma matriz fixada em
. Se
verifique que
é uma transformação linear de
em
.
Calcule as derivadas parciais
Se
representa a temperatura num ponto
numa certa região do plano, calcule a temperatura quando
e
.