(a) (1 ponto) Dada a , encontre seus pontos críticos em e classifique-os em máximo relativo, mínimo relativo e sela.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar seus pontos críticos no plano . Depois, vamos classificar cada ponto como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função se comporta em cada direção.
Calculando (derivada parcial em relação a ):
Calculando (derivada parcial em relação a ):

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos ocorrem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Vamos resolver o sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos simplificar as equações dividindo por 2:
Multiplicando a primeira equação por 2:
Subtraindo a segunda equação original multiplicada por 1:
Substituindo na primeira equação simplificada:
Então, .
Portanto, o ponto crítico é .

Passo 5

Agora, vamos classificar esse ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:

Passo 6

Calculamos o discriminante para usar no teste da segunda derivada:

Passo 7

Com o valor de :
  • Se e , então temos um mínimo relativo.
  • Se e , então temos um máximo relativo.
  • Se , então o ponto é de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, e , então o ponto crítico é um mínimo relativo.

Resposta

A função tem um ponto crítico em , que é um mínimo relativo.

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(d) (0,5 ponto) Suponha que e sejam funções diferenciáveis tais que: pertence à , para todo e que . Calcule
Seja e seja uma matriz fixada em . Se
verifique que é uma transformação linear de em .
Calcule as derivadas parciais
Se representa a temperatura num ponto numa certa região do plano, calcule a temperatura quando e .