Calcule as derivadas (pode utilizar todas as leis das derivadas…): h(x) = (4 * raiz(x)) / (x^2 - 2) * (Resp: (-6 * x^(3/2) - 4 * x^(1/2)) / ((x^2 - 2)^2))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função . Isso envolve entender as regras de derivação, como a regra do quociente e a regra da potência. Vamos precisar aplicar essas leis para encontrar a derivada de .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação das regras de derivação:
Aqui, usamos que e expressamos o denominador como uma potência negativa.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra do produto para derivar . A regra do produto diz que se você tiver duas funções multiplicando, digamos e , então a derivada é:
No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos encontrar e .
Para :
Para :
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar .

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do produto com os resultados obtidos:

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:

Passo 7

Agora, vamos combinar os termos:
Para somar as frações, precisamos de denominadores iguais. Multiplicamos o primeiro termo por :

Passo 8

Simplificamos o numerador:
Então, temos:

Passo 9

Podemos fatorar o numerador para simplificar ainda mais:
Mas para facilitar a comparação com a resposta fornecida, reorganizamos os termos:

Resposta

A derivada de é:

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