Calcule as derivadas de primeira ordem das funções dadas: g(x, y) = arcsen(x / raiz(x^2 + y^2))

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma função e precisamos calcular as derivadas de primeira ordem dessa função, ou seja, as derivadas parciais em relação a e . Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia e lembrar das fórmulas de derivadas de funções trigonométricas inversas e de expressões com raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que representamos como .
A fórmula da derivada da função arco seno é:
Aqui, . Então, aplicando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Isso envolve a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 4

Voltando à derivada parcial em relação a , substituímos o resultado acima:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , representada por .
Usando novamente a regra da cadeia:
Derivando em relação a :

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial em relação a :

Resposta

As derivadas de primeira ordem da função são:

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