Calcule as derivadas de primeira ordem das funções dadas:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma função
e precisamos calcular as derivadas de primeira ordem dessa função, ou seja, as derivadas parciais em relação a
e
. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia e lembrar das fórmulas de derivadas de funções trigonométricas inversas e de expressões com raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que representamos como
.
A fórmula da derivada da função arco seno é:
Aqui,
. Então, aplicando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
. Isso envolve a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 4
Voltando à derivada parcial em relação a
, substituímos o resultado acima:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, representada por
.
Usando novamente a regra da cadeia:
Derivando
em relação a
:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial em relação a
:
Resposta
As derivadas de primeira ordem da função
são:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas de primeira ordem das funções dadas:
Encontre a derivada da funç pre que possível.
(RA2) Verifique se a função
é uma solução da equação diferencial
Justifique sua resposta.
Determine o domínio de cada uma das funções abaixo e esboce tal domínio no plano
: