Calcule as derivadas de primeira ordem das funções dadas: f(x, y) = cos(x^2 + y^2) / (x - y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular as derivadas de primeira ordem da função . Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente trabalhando com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar regras de derivação como a regra do quociente e a regra da cadeia. Vamos passo a passo para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Para isso, identificamos que temos uma função do tipo , onde:
A regra do quociente nos diz que:

Passo 3

Vamos calcular cada parte separadamente.
Primeiro, a derivada de em relação a :
Segundo, a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos esses resultados na fórmula da regra do quociente:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Usando a mesma abordagem, temos:
Aplicando a regra do quociente:

Passo 6

Calculamos cada parte:
Primeiro, a derivada de em relação a :
Segundo, a derivada de em relação a :

Passo 7

Substituindo na regra do quociente:
Simplificando:

Resposta

As derivadas de primeira ordem da função são:
e

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