(1 ponto) Seja f a função de R em R dada por f(x, y)= x^4-3 x^2 y^3. Calcule partialpartial x partialpartial y f(1,2).
a) 7
b) - 36
c) 0
d) 36
e) 72 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular a derivada parcial mista de segunda ordem da função em . Isso envolve cálculo de derivadas parciais, então precisamos lembrar como aplicar as regras de derivação em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial y = partialpartial y (x^4 - 3x^2y^3) = -9x^2y^2 em relação a . A derivada parcial em relação a significa que tratamos como uma constante e diferenciamos apenas com respeito a :
Explicando: a derivada de em relação a é zero porque é constante, e a derivada de é usando a regra do poder.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada dessa expressão em relação a partialpartial x( partial fpartial y ) = partialpartial x (-9x^2y^2) = -18xy^2 . Ou seja, vamos derivar em relação a :
Aqui, usamos a regra do produto e a constante multiplicativa. A derivada de em relação a é , então multiplicamos por .

Passo 4

Finalmente, vamos avaliar essa derivada no ponto -18x y^2 g|(1,2) = -18 times 1 times (2)^2 = -18 times 1 times 4 = -72 :
Então, a derivada parcial mista no ponto é .

Resposta

A alternativa correta é a letra b) -36.

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