Calcule as derivadas de y com relação a x : y = ln(atan(x)) ; 1/(atan(x)(1+x^2))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de em relação a , onde . Isso vai envolver a regra da cadeia e as derivadas das funções logarítmica e arctangente. Vamos precisar lembrar dessas fórmulas para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão compostas. Temos , então a função externa é o logaritmo natural e a função interna é a arctangente de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta é . No nosso caso, e .

Passo 4

Primeiro, vamos derivar a função externa . A derivada de em relação a é .

Passo 5

Agora, vamos derivar a função interna . A derivada de em relação a é .

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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